10、164
三、解答题共4题，每小题15分，满分60分
11、解：三式相加，得：
a＋b＋c＋a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝72
5分
∴a＋b＋c2＋a＋b＋c－72＝0
∴〔a＋b＋c＋9〕〔a＋b＋c－8〕＝0

5分
∵a，b，c都是正实数
∴a＋b＋c＋9＞0
∴a＋b＋c＝8
5分
12、解：从四种不同面值的邮票中选取面值互不相同且不超过三张的不同取法共有
4＋6＋4＝14种。
不同取法所获得邮票的总面值可能相同，也可能不同，至多只有14种不同的总面值，
∴R≤145分
又若设计四种邮票的面值数分别为1，2，4，8。
5分
∵1＝1，2＝2，3＝1＋２，4＝4，5＝1＋4，6＝2＋４，7＝1＋2＋4，
8＝8，9＝1＋8，10＝2＋8，11＝1＋2＋8，12＝4＋8，13＝1＋4＋8，14＝2＋4＋8，∴R≤14
从而R最大为14，上述四种面值数作为一套，即是符合题意的设计。5分
13、解：∵∠CAB＝90°∴PQ是直径，PQ的中点O是过点A的圆的圆心。连OE，PE，
作PF⊥AB交BC于点F
∵AB＝AC
∴∠B＝45°
∵PF⊥AB∴PF＝PB，PF∥CQ
∵BP＋CQ＝PQ
∴FP＋CQ＝PQ＝2OE
f∴OE＝
FP＋CQ
5分
若取梯形CQPF的边CF中点M，连OM，则OM∥CQ∥PF，
OM＝
（FP＋CQ∴OE＝OM∴点M即FC与OO的交点E5分
∴OE∥CQ又∵CQ⊥AB∴OE⊥AB∴EA＝EP∴∠EAP＝∠EPA
∵∠EAP＝∠EAD＋∠DAB∠EPA＝∠B＋∠PEB
∴∠EAD＋∠DAB＝∠B＋∠PEB
∴∠DAB＝∠PEB
∴∠EAD＝∠B＝45°
5分
14、解：则由题意，k为正整数∴a、b、c、d都是奇数或都是偶数
1分
且1＜k＜
又易证：对于任意的正整数m，
且m＞1，有分
＜
1
∵1＜a＜b＜c＜d∴当a≥5时，
∴
即1＜k＜2
这是不可能的∴1＜a≤4
3分
当a＝4时，则b、c、d都是偶数，从而k为奇数
∴b≥6，c≥8，d≥10，k≥3∴
即3≤k＜3，这是不可能的。当a＝3时，则b、c、d都是奇数∴b≥5，c≥7，d≥9
∴
∴k＝2
若b＝7，则k＝
于是分子不是3的倍数而分母是3的倍数
从而k不是整数∴b≠7若b≥9则由于c－1，d－1都不能是3的倍数
∴
这是不可能的
∴a＝3时，k＝2，b＝5
∴2＝
∴c－16d－16＝239为质数∴c－16＝1d－16＝239∴a＝3，b＝5，c＝17，d＝255是符合题意的一组值。
，cd16c16d1705分
当a＝2时，b、c、d为偶数，k为奇数∴∴k＝3∴2bcd－1＝3b－1c－1d－1
∴bcd不是3的倍数
若b≠4，则b≥8，c≥10，d≥14，于是
与k＝3矛盾∴a＝2时，b＝4，k＝3∴3＝
f∴c－9d－9＝71为质数
∴c－9＝1，d－9＝71
∴a＝2，b＝4，c＝10，d＝80是符合题意的另一组值。
综上所述，所有满足条件的正整数a、b、c、d有两组：
r