程。
2、已知锥面的顶点为213准线为01222zyxzyx试求它的方程。
解设zyxM为要求的锥面上任一点它与顶点的连线为
2
21133zZyYxX令它与准线交于000ZYX即存在t使
ftzZtyYtxX221330
00
将它们代入准线方程并消去t得
044441026753222zyxxzyzxyzyx
此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面其余类推
圆锥的轴l与kji等角故l的方向数为111
∴与l垂直的平面之一令为1zyx
平面1zyx在所求的锥面的交线为一圆该圆上已知三点100010001该圆的圆心为3
13131故该圆的方程为1
323131312222zyxzyx它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点zyxM过M与顶点O的母线为
z
ZyYxX令它与准线的交点为000ZYX即存在t使ztZytYxtX000将它们代入准线方程并消去t得
0zxyzxy
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为421轴与平面022zyx垂直且经过点123的圆锥面的方程。解轴线的方程为1
42221zyx过点123且垂直于轴的平面为
012232zyx
即01122zyx
f该平面与轴的交点为9
37920911它与123的距离为3
116193729203911222d∴要求圆锥面的准线为
0
11229116937920911222zyxzyx对锥面上任一点zyxM过该点与顶点的母线为
4
42211zZyYxX令它与准线的交点为000ZYX即存在t使110txX220tyYtzZ440
将它们代入准线方程并消去t得
01299252516518525210412515122zyxzxyzxyzyx
6、已知锥面的准线为uzuyuxuγ顶点A决定的径矢为0000zyxγ试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为
01vuvγγγ
与
000111xvxuvxyvyuvyzvzuvz
式中vu为参数。
证明对锥面上任一点zyxM令OMγ它与顶点A的连线交准线于Mxuyuzu即OMuγ。
AMAM且0AM≠顶点不在准线上
AMvAM∴
即00vuγγγγ
亦即01vuvγγγ
f此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示即
0001xyzvxuyuzuvxyz

∴000111z
vuvzzyvuvyyxvuvxx此为锥面的坐标式参数方程vu为参数。
§43旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程
1
111112xyz绕1
112xyz
旋转21211xyz绕1112xyz
旋转31133
xyz绕z轴旋转
4空间曲线2
221
zx
xy绕z轴旋转。
解1设1111Mxyr