第五章二次曲线一般的理论
§51二次曲线与直线的相关位置
1写出下列二次曲线的矩阵A以及F1xy，F2xy及F3xy
（1）x2y21；（2）x2y21；（3）y22px；（4）x23y25x20
a2b2
a2b2
（5）2x2xyy26x7y40
1

a
2
0
0


解：（1）
A


0
1b2
0

；
F1

x
y

1a2
x；F2xy
1b2
y；F3xy1；

0
01


1

a
2
0
0


（2）
A


0

1b2
0

；
F1

x
y
1a2
x
F2x
y

1b2
y；F3x
y

1

0
01
00p
（3）
A


0
1
p0
0

；
F1

x
y



p
；
F2

x
y

y；F3xypx；
0

1
（4）A0

5
030
5
20

；
F1x
y

x

52
；
F2x
y

3y
；
F3x
y

52
x

2
；
2
2


2

12
3
（5）
A



12
1
72

；
F1x
y

2x

12
y
3
；
F2x
y


12
x

y

72
；
3
72
4
F3x
y

3x

72
y

4

f2求二次曲线x22xy3y24x6y30与下列直线的交点（1）5xy50；
（2）x2y20；
（3）x4y10；
（4）x3y0；
（5）2x6y90
解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略
（1）1510；22
（2）

4

25
26i
725
26i
，
4
25
26i
725
26i

；
（3）二重点10；
（4）

12

16

；
（5）无交点
3求直线xy10与二次曲线2x2xyy2x2y10的交点
解：由直线方程得xy1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点
4试确定k的值，使得（1）直线xy50与二次曲线x23xyk0交于两不
同的实点；
x（2）直线

1
kt
与二次曲线
x2

4xy

3y2

y

0
交于一点；
ykt
（3）xky10与二次曲线2xyy2k1y10交于两个相互重合的点；
x（4）

1
t
与二次曲线
2x2

4xy

ky2

x

2y

0
交于两个共轭虚交点
y1t
解：详解略（1）k4；（2）k1或k3（3）k1或k5；（4）k4924
§52二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
f1求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的
（1）x22xyy23xy0；
（2）3x24xy2y2x2y50；
（3）2xy4x2y30
解：（1）由XYX22XYY20得渐进方向为XY11或11且属于抛物
型的；
（2）由XY3X24XY2Y20得渐进方向为XY22i3且属于椭圆型
的；
（3）由XY2XY0得渐进方向为XY10或01且属于双曲型的
2判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线
（1）x22xy2y24x6y30；
（2）x24xy4y22x2y10；
（3）2y28x12y30；
（4）9x26xyy26x2y0
11
解：（1）因为I21
r