=180°-75°-60°=45°由正弦定理得si
A4C5°=si
AM60°AM=1003在△AMN中,AMMN=si
60°,所以MN=1003×23=150m.答案:1507一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬得10cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行可回到它的出发点,那么x=________cm解析:如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,
∠BCA=180°-135°=45°,
所以∠BAC=180°-75°-45°=60°
x
10
由正弦定理得:si
45°=si
60°,
所以x=1036cm.
f答案:10368如图所示,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M位于北偏东α,前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β,已知该岛周围
海里范围内包括边界有暗礁,现该船继续东行,当α与β满足条件__________时,该船没有触礁危险.
解析:在△ABM中,由正弦定理得
BMsi
(90°-α
)=si
(αm-β
),
故BM=si
m(cαos-αβ),
要使该船没有触礁危险需满足
BMsi
90°-β
=mscio
s(αα
cos-β
β)
所以当α与β满足mcosαcosβ
si
α-β时,该船没有触礁危险.
答案:mcosαcosβ
si
α-β
三、解答题
9.甲船在A处,乙船在A的南偏东45°方向,距A有9海里的B处,并以20海里时
的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船以28海里时的速度行驶,用多少小时能最快追上
乙船?
解:如图所示,设用t小时甲船能追上乙船,且在C处相遇.
在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-45°-15°=120°由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos∠ABC,即28t2=92+20t2-2×9×20t×-12,128t2-60t-27=0,
f所以t=34或t=-392舍去,所以甲船用34小时能最快追上乙船.10.如下图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD精确到1m.
解:在△ABC中,∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,siB
CA=siA
BC,
BC=ABsis
i
C
A5si
=si
15°10°≈7452
4km.
CD=BC×ta
∠DBC≈BC×ta
8°≈
1047m.
B级能力提升
1.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,
继续在地面上前进2003m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为
A.200mB.300mC.400mD.1003m
解析:如下图所示,△BED,△BDC为等腰三角形,BD=ED=600,BC=DC=2003
在△BCD中,由余弦定理可得
6002+(2003)2-(2003)23
cos2θ=
2×600×2003
=2,
所以2θr