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第3讲平面向量的数量积及应用举例
1．向量的夹角1定义：已知两个非零向量a和b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．2范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°3共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则abcos__θ叫做a与b的数量积，记作ab
投影
acos__θ叫做向量a在b方向上的投影，bcos__θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos__θ的乘积
3向量数量积的运算律
1ab＝ba
2λab＝λab＝aλb．
3a＋bc＝ac＋bc
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，a与b的夹角为θ
结论模
夹角
a⊥b的充要条件
几何表示a＝aacosθ＝aabb
ab＝0
导师提醒1．记住平面向量数量积的三个常用公式1a＋ba－b＝a2－b2
坐标表示
a＝x21＋y21
cosθ＝
x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22
x1x2＋y1y2＝0
1
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2a＋b2＝a2＋2ab＋b23a－b2＝a2－2ab＋b22．关注向量夹角的两个易错点1两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab＞0，反之不成立因为a与b夹角为0时不成立．2两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab＜0，反之不成立因为a与b夹角为π时不成立．
判断正误正确的打“√”，错误的打“×”
1两个向量的夹角的范围是0，π2

2向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．
3若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角．
4ab＝aca≠0，则b＝c
答案：1×2√3×4×
2018高考全国卷Ⅱ已知向量a，b满足a＝1，ab＝－1，则a2a－b＝
A．4
B．3C．2D．0
解析：选Ba2a－b＝2a2－ab＝2－－1＝3，故选B
教材习题改编已知a＝2，b＝6，ab＝－63，则a与b的夹角θ＝________．
解析：cos
θ＝aabb＝－2×663＝－
32
5π又因为0≤θ≤π，所以θ＝6答案：5π6
已知向量a与b的夹角为30°，且a＝1，2a－b＝1，则b＝________．解析：因为2a－b＝1，所以2a－b2＝4a2＋b2－4ab＝4＋b2－4bcos30°＝1，即b2－
23b＋3＝0，所以b－32＝0，所以b＝3
答案：3已知点A－1，1，B1，2，C－2，－1，D3，4，则向量A→B在C→D方向上的投影
为________．
2
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解析：A→B＝2，1，C→D＝5，5，
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