西南交通大学2012－2013学年第2学期考试试卷
课程代码6011320课程名称高等数学II（Ｂ卷）考试时间120分钟
一、选择题（本大题有6小题，每题4分共24分）
1为使二元函数fxyxy当xy沿某一特殊路线趋于（0，0）时的极限是2，这条路线应
xy
选择．
（A）．yx；（B）．yx；（C）．yx；（D）．y2x．
4
3
2
3
2设S为球面x2y2z21z0S1为其在第一卦限的部分，则
式正确．
（A）．xdS4xdS；
S
S1
（B）．ydS4xdS；
S
S1
（C）．zdS4zdS；
S
S1
（D）．xyzdS4xyzdS．
S
S1
3平面3x2z80的位置特点是．
（A）．平行于ox轴；（B）．平行于oy轴；（C）．平行于oz轴；（D）．平行于oxz面．
4设PxyQxy在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则在D内QP是曲线积分xy
PdxQdy与路径无关的C

（A）．充要条件；
（B）．必要条件；
（C）．充分条件；
（D）．既非充分也非必要条件．
5下列级数中绝对收敛的是；条件收敛的是
．
（A）．

1

1
3

1

2
（B）．si
1；
1

（C）．1

1
；

1


（D）．1

2

．

1
2
1
6设D为x2y2a2，当a
时，a2x2y2dxdy2．
D
3
（A）．31；（B）．33；
2
2
（C）．33；4
（D）．1．
f二、填空题（本大题有4小题，每题4分共16分）
7数量场uxyzx2y2z2，则u产生的梯度场的散度为a2b2c2
8设uxyze2xy，其中xcostyt2，则dudt
9
曲线
2x23y2z2

x2

2y2

3z

6
在点111
处的切线方程为
．

10
设
fx
是周期为2
的函数，它在上的表达式为
f
10x1
xx0
，fx的
Fourier级数的和函数为sx，则s7

三、解答题（本大题有9小题，每题9分共54分）
11设函数fu是有界闭区域Dx2y2a2上的连续函数，试求lim1
fx2y2dxdy的极
a0a2D
限．
12计算2xy3x24y2ds，其中L为椭圆x2y21，其周长为a．
L
43
13计算曲面积分2xzdydzzdxdy，其中S为有向曲面zx2y20z1，其法向量与zS
轴正向的夹角为锐角．
14


求幂级数
2x
1的收敛域及和函数，并求出级数
2

1

1
12
1
的和
15
将
fx
1x2
展开成x2的幂级数．
16设L为曲线x2y2R2R0一周，取逆时针方向．已知uxy具有二阶连续偏导数且
2u2ux2y2．证明
x2y2
udyudxR4．Lxy
四、证明题（6分）
17设函数fx在上有定义，在x0的某个邻域内有一阶连续导数，且limfxa0，x0x
证明1
f1收敛，而f1发散．r