的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩
阵的第j行元素对应相乘再相加。
410
例：设
A


12
01
30
21
B


121
103
314

，则
410
AB


12
01
30
21
121
103
314
42
f
12
4
4
013211110221
11013013
21110023
102
0
013330112144
99
29
111
例设
A


21
42

，
B


23
46，求AB及BA。
解：
AB


21
42
23
46


168
1362，
BA


23
46
21
4200
00
由此发现：（1）ABBA，（不满足交换律）
（2）AO，BO，但却有BAO。
一个必须注意的问题：
1．若Ams，Bs
则AmsBs
成立当m
时Bs
Ams不成立；
2．即使Am
，B
m则Am
B
m是m阶方阵而B
mAm
是
阶方阵；
3如果
AB
都是


阶方阵例如
A


21
42

，
B


23
46

，则
AB


168
1362
，而
BA


00
00
综上所述一般ABBA（即矩阵乘法不满足交换率）。
下列性质显然成立：
①ABCABC，②ABABAB，
②ABCABACBCABACA
几个运算结果：
43
f
b1

1
a1a2a


b2


a1b1

a2b2

a
b

；
b

b1
a1b1
2

b2
a1

a2

a





a2b1
a1b2
a2b2

a1b

a2b


；
b

a
b1a
b2a
b

3若A为m
矩阵E是m阶单位阵则EAA若E是
阶单位阵则
AEA；
4线性变换的矩阵表示：
则yAx
y1a11x1a12x2a1
x

设

y2a21x1a22x2a2
x


ymam1x1am2x2am
x

a11
A


a21
am1
a12a22
am2

a1

x1
y1
a2
am



x


x2
x



y


y2
ym


5．线性方程组的矩阵表示：
a11x1a12x2a1
x
b1

a21x1a22x2a2
x
b2

am1x1am2x2am
x
bm
a11
A


a21
am1
a12a22
am2

a1

x1
b1
a2
am



x


x2
x



b


b2
bm

则Axb
44
f矩阵的幂A2AA，A3AA2，，A
AA
1
例证明

cossi

sc
i
os





cos
si

si
cos


证明用归纳法：
1时显然成立假定
k时成立则
k1时
cossi
k1cossi
cossi
ksi
cossi
cossi
cos


cossi

si
cos

cosksi
k
si
kcosk



coscosksi
si
ksi
coskcossi
k
cossi
ksi
cosksi
si
kcoscosk



cosk1si
k1
si
kcosk
11

从而结论成立
由于

cossi

si
cos

是直角坐标旋转
角度变换的系数矩阵故而

cossi

si
cos


是旋转了


角度变换的系数矩阵
四、转置
a11
设
A


a21
a12
a22

a1

a11
a2


，记
AT


a12
a21
a22

a
1a
2

a
1a
2a

a1
a2
a

则称AT是A的转置矩阵。
显然，
①ATTA，②ABTATBT，③ATAT，④ABTBTAT。
对称矩阵的定义若矩阵A满足ATA（即aijajr