312两角和与差的正弦、余弦和正切公式
疱工巧解牛知识巧学一、两角和的余弦公式1比较cosαβ与cosαβ，根据αβ与αβ之间的联系：αβαβ，则由两角差的公式得cosαβcos［αβ］cosαcosβsi
αsi
βcosαcosβsi
αsi
β即cosαβcosαcosβsi
αsi
β学法一得这种以β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角在公式Cαβ中，因为角α、β是任意角，所以在Cαβ中，角α、β也是任意角2用两点间的距离公式推导Cαβ
图315如图315，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、β，使角α、β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、αβ这样的角，设角α、β的始边交单位圆于点P1，则P11，0设P2x，y，根据任意角的三角函数的定义，有si
αy，cosαx，即P2cosα，si
α；同理可得P3cosαβ，si
αβ，P4cosβ，si
β由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以P1P3P2P422P1P3P2P4，2222即［cosαβ1］si
αβ［cosβcosα］［si
βsi
α］根据同角三角函数的基本关系整理得22cosαβ22cosαcosβsi
αsi
β，即cosαβcosαcosβsi
αsi
β3利用向量的数量积推导Cαβ
图316如图316，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、β，它们与单位圆的交点分别为A、B显然，OAcosαsi
αOBcosβsi
β根据向量数量积的定义，有
1
fOA

OB

cosαsi
αcosβsi
βcosαcosβsi
αsi
βcosαcosβsi
αsi
β于是cosαβcosαcosβsi
αsi
β学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反二、两角和与差的正弦1公式的推导
αβ］cos［2cosαcosβsi
αsi
βsi
αcosβcosαsi
β22
si
αβcos［
2
αβ
］
在上面的公式中，以β代β，即可得到si
αβsi
αcosβcosαsi
β2r