2
x
E
2
x
②
Ⅲ:xa
22m
d2dx2
3
x
U
x
3
x
E
3
x
③
由于1、3方程中,由于Ux,要等式成立,必须
1x0
2x0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
4
f方程2可变为
d
22xdx2
2mE2
2
x
0
令k2
2mE2
,得
d
22xdx2
k
2
2
x
0
其解为2xAsi
kxBcoskx
④
根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得
2010
⑤
2a3a
⑥
⑤B0
⑥Asi
ka0
A0si
ka0ka
123
∴2x
Asi
a
x
由归一化条件
x2dx1
得
A2
a
si
2
xdx
1
0
a
由
a0
si
ma
x
si
a
xdx
a2m
A2a
2x
2si
xaa
5
fk2
2mE2
E
222ma2
2
123可见E是量子化的。
对应于E
的归一化的定态波函数为
x
t
2
si
i
xeE
t
aa
0
0xaxaxa
25求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解:
1x
2xe
12
2x2
2
1x1x2
42
2
x2e2x2
23xe22x2
d1x232x22x3e2x2
dx
令d1x0,得dx
x0
x1
x
由1x的表达式可知,x0,x时,1x0。显然不是最大几率的位置。
而d21x23262x222x2x22x3e2x2
dx2
43152x224x4e2x2
d21xdx2
x1
643
1e
0
可见x1是所求几率最大的位置。
32氢原子处在基态r1era0,求:a03
6
f1r的平均值;
2势能e2的平均值;r
3最可几半径;
4动能的平均值;
5动量的几率分布函数。
解:1rrr2d12re2ra0r2si
drdd
a03000
4r3a2ra0dr
a030
x
eaxdx
0
a
1
4a03
3
2a0
4
32
a0
e2
e2
2U
21er2ra02si
drdd
r
a03000r
e22er2ra0si
drdd
a03000
4e2e2ra0rdr
a030
4e21e2
a03
2a0
2
a0
3电子出现在rdr球壳内出现的几率为
rdr
2
r2r2
si
drd
d
4e2ra0r2dr
00
a03
r4er2ra02a03
dr422rre2ra0
dr
a03
a0
7
f令
drdr
0,
r1
0
r2
r3a0
当r10r2时,r0为几率最小位置
d2r428r4r2e2ra0
dr2
a03
a0
a02
d2r
8e20
dr2ra0
a03
∴ra0是最可几半径。
4T1p222
2
2
2
1r2
r
r2
1rsi
si
1
si
2
2
2
T
21era02era0r2si
drdd
2000a03
2
2
1era01
dr2dera0r2si
drdd
2000a03
r2drdr
422a03
1a0
2r
0
r2e2ra0a0
dr
422a02a0222a04442a02
5
cp
p
r
r
d
c
p
1232
0
1
era0r2dr
e
i
prcos
si
d
2
d
a03
0
0
2
r2era0dr
e
i
pr
cos
dr