2
x

E
2
x
②
Ⅲ：xa

22m
d2dx2

3
x

U
x
3
x

E
3
x
③
由于1、3方程中，由于Ux，要等式成立，必须
1x0
2x0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
4
f方程2可变为
d
22xdx2

2mE2

2
x

0
令k2

2mE2
，得
d
22xdx2

k
2
2

x

0
其解为2xAsi
kxBcoskx
④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
2010
⑤
2a3a
⑥
⑤B0
⑥Asi
ka0
A0si
ka0ka

123
∴2x

Asi

a
x
由归一化条件
x2dx1
得
A2
a
si
2


xdx
1
0
a
由
a0
si

ma
x

si

a
xdx

a2m

A2a
2x
2si
xaa
5
fk2

2mE2

E


222ma2

2

123可见E是量子化的。
对应于E
的归一化的定态波函数为




x
t



2
si


i
xeE
t
aa
0
0xaxaxa
25求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：
1x


2xe
12
2x2
2
1x1x2

42
2
x2e2x2
23xe22x2
d1x232x22x3e2x2
dx

令d1x0，得dx
x0
x1
x
由1x的表达式可知，x0，x时，1x0。显然不是最大几率的位置。
而d21x23262x222x2x22x3e2x2
dx2

43152x224x4e2x2
d21xdx2
x1

643
1e
0

可见x1是所求几率最大的位置。
32氢原子处在基态r1era0，求：a03
6
f1r的平均值；
2势能e2的平均值；r
3最可几半径；
4动能的平均值；
5动量的几率分布函数。
解：1rrr2d12re2ra0r2si
drdd
a03000
4r3a2ra0dr
a030
x
eaxdx

0
a
1

4a03
3

2a0
4

32
a0
e2
e2
2U
21er2ra02si
drdd
r
a03000r
e22er2ra0si
drdd
a03000
4e2e2ra0rdr
a030
4e21e2
a03

2a0
2
a0
3电子出现在rdr球壳内出现的几率为
rdr

2

r2r2
si

drd
d

4e2ra0r2dr
00
a03
r4er2ra02a03
dr422rre2ra0
dr
a03
a0
7
f令
drdr

0，
r1

0
r2
r3a0
当r10r2时，r0为几率最小位置
d2r428r4r2e2ra0
dr2
a03
a0
a02
d2r
8e20
dr2ra0
a03
∴ra0是最可几半径。
4T1p222
2
2
2

1r2


r
r2
1rsi


si


1

si
2
2

2
T
21era02era0r2si
drdd
2000a03
2


2
1era01
dr2dera0r2si
drdd
2000a03
r2drdr


422a03

1a0
2r
0

r2e2ra0a0
dr
422a02a0222a04442a02
5
cp

p
r
r

d
c
p

1232
0
1
era0r2dr

e

i
prcos
si

d
2
d
a03
0
0

2
r2era0dr
e

i
pr
cos
dr