极坐标和参数方程知识点典型例题讲解同步训练
知识点回顾
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
xft

y

ft
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程
组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
（二）常见曲线的参数方程如下：
1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：
xx0tcosyy0tsi

（t为参数）
其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM
的数量，又称为点P与点M间的有向距离．
根据t的几何意义，有以下结论．
○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tBtA＝
tBtA24tAtB．
○2．线段AB的中点所对应的参数值等于tAtB．
2
2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
xx0rcosyy0rsi

（为参数）
3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：
xacosybsi

（为参数）
xbcos
（或
）
yasi

中心在点（x0y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

xy

x0y0
acos为参数）bsi

4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：
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fxasecybtg
（为参数）
（或xbtg）yasec
5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
x2pt2y2pt
（t为参数，p＞0）
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是
xy

x0y0

tt
cossi

（t为参数）．
（三）极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对ρθ就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
M


O
x
图1
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与
直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应
惟一点P，，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些
坐标又有规律可循的，P，（极点除外）的全部坐r