数学建模
§4
足球门的危险区域
一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为244米，宽为732米。实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米秒左右。下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。三、模型假设1、在理想状态下，认为球员的基本素质是相同的，或差别不大；2、不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10米秒；3、球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；4、只考虑标准的球场：长为104米，宽为69米；球门高为244米，宽为732米。r