第三节
平面向量的数量积与平面向量应用举例
考纲传真
1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的
数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．两个向量的夹角→→1定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角．2范围：0°≤∠AOB≤180°3向量垂直：∠AOB＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b规定：零向量可与任一向量垂直．2．平面向量的数量积1射影的定义设θ是a与b的夹角，则bcosθ叫作b在a方向上的射影或投影．2平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把abcosθ叫作a与b的数量积或内积，记作ab3数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度a与b在a方向上的射影bcosθ的乘积．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
1
f设非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2．结论模数量积几何表示a＝aaab＝abcosθ坐标表示
2a＝x1＋y21
ab＝x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2222x1＋y21x2＋y2
夹角
abcosθ＝ab
cosθ＝
a⊥b的充要条件ab＝0x1x2＋y1y2＝0
ab与ab的关系ab≤ab
x1x2＋y1y2
222≤x1＋y21x2＋y2
4平面向量数量积的运算律1ab＝ba交换律；2λab＝λab＝aλb数乘结合律；3ab＋c＝ab＋ac分配律．
1．思考辨析判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”1两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．
2由ab＝0，可得a＝0或b＝03由ab＝ac及a≠0不能推出b＝c
2
f→→→→4在四边形ABCD中，AB＝DC且ACBD＝0，则四边形ABCD为矩形答案1√2×3√4×

→13→312．2016全国卷Ⅲ已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝2222A．30°C．60°AB．45°D．120°

→1→→3333→31因为BA＝，，BC＝，，所以BABC＝4＋4＝2又因为2222
→→→→3BABC＝BABCcos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝2又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°故选A3．2015全国卷Ⅱ向量a＝1，－1，b＝－12，则2a＋ba＝A．－1C．1B．0D．2
C法一：∵a＝1，－1，b＝－12，∴ar