§23
反函数的导数，复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设x
y
是直接函数，y
0
fx是它的反函数，假定xy
在
Iy
内单调、
可导，而且y
，则反函数y
fx在间IxxxyyIy内也是单
调、可导的，而且
fx1
y
1证明：xIx，给x以增量xx0xxIx由
yfx
在Ix上的单调性可知
yfxxfx0
yx1xy

于是因直接函数x
yfx在Ix
y
在
Iy
上单调、可导，故它是连续的，且反函数
0
上也是连续的，当x
1xy1
时，必有y
0
x0
lim
yx
lim
y0
y
fx
1
即：
y
【例1】试证明下列基本导数公式
1arcsi
x2arctgx3loga
x
11x1
22
1x1xl
a

f证1、设x
函数
si
y
为直接函数，y
Iy
arcsi

x
是它的反函数
xcosy0

xsi
y
在
22上单调、可导，且
因此，在
Ix11
1
上，有
arcsi
x
cosy
注意到，当
y

22时，cosy0
，cos
y
1si

2
y
1x
2
arcsi
x
11x
2
因此，
证2
设xtgy，
Iy

22
则yarctgx，Ix
xtgy
在
Iy
x
1cos
2
0y1
上单调、可导且
1tgycos
2
arctgx
y
11tgy
2

故
1x
2
loga
x
1a
y

1al
a
y

1xl
a
证3
类似地，我们可以证明下列导数公式：
arccosxarcctgxl
x1x11x11x
22
二、复合函数的求导法则
f如果u
x
在点x0可导，而y可导，且导数为
fu在点u0x0
可导，则复合函数
yfx在点x0
dydx
xx0
fu0x0
证明：因u0
lim
yx
fu0
，由极限与无穷小的关系，有
yfu0uu当u0时0
用x
yx
0去除上式两边得：
uxux
fu0
x
由u
在x0的可导性有：
x0
x0u0，
limyxlimfu0
x0
limlim0
u0
uxux
x0

ux
ux
fu0lim
x0
limlim
x0
x0
fu0x0
dyfu0x0
xx0
即
dx
上述复合函数的求导r