代数中的应用）
在代数中，线性方程组思想方法对于一些问题具有一定的帮助，就比如说矩阵的求逆。
111
例如
已知
D


2
1
1

求
D1
。
120
（方法提要：不妨将矩阵求逆转换成线性方程组求解的问题）
解析令所要求的可逆矩阵D11，2，3，
9
f根据DD1可知而它满足D；
1
0
0
即可分解成几个线性方程组
D1


0

，D2


1

，D3


0

的形式，
0
0
1
运用线性方程组求解方法分别解得
综上解得
1
1
1

2


2


2

1



14

，
2



14

，
3


14

；

54



14



34

42（几何应用）
111

2
2
2

D1



14
14
14




54
14

34

例要使得平面上三点1x1y1，2x2y2，3x3y3在同一条直线上，则需满足
什么条件？
分析∵三点位于平面上同一条直线上（不妨令直线为axbyc0，abc不全为零）
故三点坐标满足齐次线性方程组
ax1by1c0ax2by2c0ax3by3c0
从而有以Y为未知量的方程组
x1Yy10

x2

Yy2



0

x3

Yy3



0
存在非零解aYbZc；
由线性方程组解的判定方法可知：
10
f齐次线性方程组有非零解

秩



x1x2
x3
y1y2
1
1





3
（


为未知量的个数）；
y31
∴平面上三点i
xiyi
（
i

1
23
）在
秩



x1x2
x3
y1y2
1
1





3
条件下共线。
y31
结合上述例子可知，看似抽象的几何问题可以运用线性方程组理论来解决。因此，
具体操作时，像有关平面直线或空间平面中位置关系的问题，不妨尝试从线性方程组
的角度来思考，往往更为简单明了。
43（解决实际问题）
例下表反映了三种不同化肥A、B、C中所含各元素的量kg：
氮钾磷
A7028
B640610
C70145
若当前总混合量为23kg且含钾30kg、磷149kg问：化肥A、B、C各需多少kg
解析设需A、B、C各abckg；
根据题意可用线性方程组表示为
其系数行列式
abc238a10b5z1492a06b14z30
111
2311
810
5
275
0；1
149
10
581，5
20614
300614
1231
1123
28149527，381014981；
23014
20630
可以解得该方程组的唯一的解为
a13，b25c315；



所以，A需要3kg，B需要5kg，C需要15kg。
11
f除此之外，实际生活中还存在很多类似的例子，往往也可以结合线性方程组求解问题的相关理论来进行处理。
小结关于线性方程组的求解问题始终贯穿于整个线性代数，无论从它的判定，还是
求解方法来说，都具有非常重要的意义。关于它的方法以上则总结了一些较为典型的方法供参考，每个r