那么AXB有无穷多个解。
212当秩秩时，那么AXB无解。
结合例题具体阐释：例假设有非齐次线性方程组ai1x1ai2x2ai
x
bi（bi12
），
且该系数行列式0，问：此方程组是否有解？解析不一定。
在此条件下，该方程组通常会有这样两种情况，分别为：①假如的秩的秩
因为0，所以的秩
1时，
则可知该方程组有无穷多个解；
2
f3x13x22x31
例如

x1

x2

x3

2
6x16x24x32
332
则有1110，但2
3，
664
故可以推知该方程组的解有无穷多个。
②假如的秩的秩时，则可推知该方程组无解。
3x1x21
例如

x1

x2

x3

0
5x13x22x31
310
则有1110，而23
532
故方程组无解。
该方程组在0的条件下，不一定有解。
a11x11
例
设有这样一个方程组1
a
1


x2



1

，它有无穷多个解，因此，其中的
a
11ax32
应当取何值？
解：方程组有无穷多个解，
则3
从而（a2a120
解得a2或a1，
11111111
若a1，则111
1


0
0
0
1
11120000
此时12，方程组则无解
得到a取值为2补充在实际应用中，有时也根据向量是否能够用的列向量组线性表示，来判定
3
fAXB是否有解。
例
3
写出能使得方程组

2
10
146
273
052

x1x2x3x4



有解的所有列向量

。
解要使得方程组有解，则可表示成系数矩阵中各列向量的线性组合。
3120
即所求的列向量


k1

2


k2
4

k3
7

k4

5（k1k2
k3k4为任意数

10632
22齐次线性方程组的解存在性判定
一般来说，齐次线性方程组可以表示成0的形式，与此同时，也可将其理解为非齐次线性方程组的特别情况（即0）。由非齐次线性方程组的判定法可以推知，齐次线性方程组0一定有解（且至少有零解），所以它的解只有两种情形。即在0中，为m
矩阵，其解的情况具体如下：
1当秩
（
为未知数的个数）时，则0仅有零解。
2当秩
时，则存在无穷多个解，换言之，即方程组有非零解。
思路点拨：（）要证0只有零解，则只需证系数矩阵的秩与未知数的个数
相等，或者证的各个列向量之间是线性无关。特别是在方程组中方程的个数与其未知数的个数相等的情况下（即m
），只需证齐次线性方程组
0满足

0，则可得出只有唯一的解（零解）。（）要证0有非零解，则
①可证秩
（
未知数的个数）；
②可证中各列向量之间线性相关。特别是在方程的个数与未知数的个数相等的情形下（即m
）r