线性方程组求解问题的探究及其应用
摘要线性方程组是线性代数中的一块核心内容。关于其求解问题，从判定到解法，其中所蕴含的思想方法灵活且多样。本文则主要侧重于方法的探究。针对线性方程组求解问题的几个方面，进行系统地归结。并结合代数、几何以及实际应用几个方面加以延拓，继而加深对线性方程组求解问题的理解。关键词线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组行列式矩阵秩
线性方程组是线性代数中一块重要的内容，其中所蕴含的思想方法涉及的面也非常之广泛。它有效地将代数、矩阵、行列式等知识点融合在一起，并结合各知识点作进一步延展。而这在一定程度上，也决定了其方法的多样化与灵活性。关于线性方程组求解问题，以下则从可解性的判定着手探究，并在此基础上对解法作进一步地归纳与整合。而在这之前，先对于线性方程组的表述方式作一个初步地了解。以下从三个角度进行分类，可分别表述为代数方程形式、向量型、矩阵型。
1几类常见表述形式
11代数方程形式
12向量型
a11x1a12x2a21x1a22x2am1x1am2x2
a1
x
b1a2
x
b2
am
x
bm
不妨将其系数用列向量来表示，
a11
a12
令
１＝
a21


2


a22



am1


am
2

a1

b1




a2


，
＝
b2


am



bm

则方程可转化成1x12x2
x

13矩阵型
可以将线性方程组中的系数写成矩阵形式，即
令aijm
x1x2x
b1b2b
那么，方程组可写成形如AXB的形式。
1
f以上则是对于线性方程组的表述形式所作的一些初步了解，下面进一步从求解问题的方法着手。在求解问题之前，第一步往往需要对于线性方程组的可解性进行适当的判定，而这里则涉及到线性方程组解存在的条件。结合其性质特点以及相关定理，并具体从两方面着手，归结如下：
2线性方程组解存在的条件
21非齐次线性方程组解的存在性判定类似AXB的线性方程组，其解的可能性我们一般可以分为：无解、有解；而
当方程组有解时，又可分为可能存在唯一解，也可能有无穷个解。那么，要判定其解的可能性，具体又将如何着手？这是一个关键。而在通常的解
题过程中，相对来说较为典型的则是结合相应的系数矩阵aijm
，以及增广矩阵
的秩等其他条件进行综合判别。
211当秩r秩时，那么AXB有解。
进一步分情形讨论：
1当r
时（
为未知数的个数），则AXB有唯一解；
注：特别当未知数的个数与方程的个数相等（m
）时，若r
，则系数行列式0，并可推得AXB有唯一解。
2当r
时，r