因动点产生的平行四边形问题
例12015年成都市中考第28题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的
另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点
E
是直线
l
上方的抛物线上的动点，若△ACE
的面积的最大值为
54
，求
a
的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的
四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
图1
动感体验
备用图
请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．
思路点拨
1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．
满分解答
（1）由y＝ax2－2ax－3a＝ax＋1x－3，得A－10．
由CD＝4AC，得xD＝4．所以D45a．
由A－10、D45a，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．
设Exax2－2ax－3a，Fxax＋a，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．
由
S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝
12
EFxE

xA

12
EFxE

xC

f＝
12
EF
xC

xA
＝
12
ax2

3ax

4a
＝
12
ax

322

258
a
，
得△ACE的面积的最大值为25a．解方程25a5，得a2．
8
84
5
（3）已知A－10、D45a，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如图2，如果AD为矩形的边，那么ADQP，AD＝QP，对角线AP＝QD．
由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．
当x＝－4时，y＝ax＋1x－3＝21a．所以Q－421a．
由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P126a．由AP2＝QD2，得22＋26a2＝82＋16a2．
整理，得7a2＝1．所以a7．此时P1，267．
7
7
②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q2－3a．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P18a．由AD2＝PQ2，得52＋5a2＝12＋11a2．整理，得4a2＝1．所以a1．此时P1，4．
2
图1
图2
图3
考点伸展
第（3）题也可以这样r