高考总复习之数学绝密资料解析几何综合题解题思路案例分析
北京中国人民大学附中陕西省咸阳市永寿中学梁丽平安振平
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关1判别式解题时时显神功案例1已知双曲线C
y
2

x
2
1，直线l过点A
2
2

20，斜率为k，0k1时，当

双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0由此出发，可设计如下解题思路：
lykx2
0
k1
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
2
l
ykx
2k
2
2
2k
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0
解得k的值
解题过程略分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解据此设计出如下解题思路：
问题
kx
2xk
2
2

2k2
关于x的方程
1
0
k1有唯一解
1转化为一元二次方程根的问题求解
f简解：设点Mx2x为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：
2
kx
2xk
2
2

2k2
1
0
k1

于是，问题即可转化为如上关于x的方程由于0k1，所以2x
kx
2
xkx，从而有
2
2x

2kkx
2x
2

2k
于是关于x的方程
kx
2x
2

2k
2k
2
1
2222k12x2k212kkx0


2kkx
2
222k1x2k2k12k212kkx0



2kx

2k
2
1
2kr