1．10
21．12分已知定义域为R的函数fx（1）求a，b的值；（2）证明：函数在R上是减函数；
2xb是奇函数．2x1a
（3）若对任意的tR，不等式ft22tf2t2k0恒成立，求实数k的取值范围．
1【答案】（1）a2，b1；（2）见解析；（3）k．3



【解析】（1）∵fx是R上的奇函数，∴f00，即
1b0，解得b1，2a
112x1212从而有fxx1，又f1f1知，解得a2．4a1a2a
当a2，b1时，fx
1112xx，x122122
11112x12x111xfx，∴fxxxx221221212221
∴fx是奇函数．从而a2，b1符合题意．（2）证明：由（1）知fx则fx1fx2∵x1x2，∴2
x2
11x，设x1x2，221
112x22x1，12x112x22x112x21
2x10，∴fx1fx20，即fx1fx2．
f∴函数fx在R上为减函数．（3）∵fx是奇函数，∴不等式ft22tf2t2k0，



ft22tf2t2kft22tf2t2k．
∵fx是R上的减函数，∴t22t2t2k，
1即对一切，tR有3t22tk0，从而412k0，解得k．3
22．12分已知函数fxx22exm1，gxx（1）若函数hxgx2m有零点，求m的取值范围；
e2x0；x
（2）若方程fxgx0有两个异相实根，求m的取值范围．【答案】（1）e；（2）2e1e2．【解析】（1）∵x0，∴gxx
e22e22e，当且仅当xe时取等号，x
即函数gx的值域是2e，要使函数hxgx2m有零点，则只需2m2e，∴m的取值范围是e；（2）∵方程fxgx0有两个异相实根，∴函数fx的图象与函数gx的图象有两个不同的交点；∵fxx2exm1xem1e，
222
∴其对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e．
2
由（1）知，函数gx的值域是2e，即gx的最小值为2e，∴m1e2e，即m2e1e，
22
故m的取值范围是2e1e2．
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