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第八讲不定方程
教学目标
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
1．不定方程的试值技巧2．不定方程的经典题例
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制比如要求解为正整数等的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
经典精讲
基本题型
【例1】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚
【分析】设有7x个大和尚，29y个小和尚，则共吃41x11y个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃
一个馒头”，可列方程：7x29y41x11y，化简为9x17y。当x9，y17时和尚最少，有792917556（个）。
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【例2】把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），求这两个数。
【分析】这是一道整数分拆的常规题。可列式11x13y2001，要让y取最大值，可把式子变形为
y200111x131531213x2x153x122x，当x7时，y146。则的拆的两个
13
13
13
数一是71177，146131924。这种不定方程的变形求解是较实用的方法。
或者直接把2001除以13余13，13不是11的倍数，只能退出若干个13，与余数合起来是25，
38，51，64，77，直到出现11的倍数77为止。
【例3】马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获r