有
a2b2c2a21b21c21cababc
a2b2c2a21b21c21bcaabc
两式相加除以2，得
fabca2b2b2c2c2a2
2c
2a
2b
再考虑a3b3c3，并且111bccaab
利用排序不等式，
a3b3c3a31b31c31bccaabcaabbc
a3b3
c3
a3
1
b3
1
c31
bccaababbcac
两式相加并除以2，即得
a2b2b2c2c2a2a3b3c3
2c
2a
2bbccaab
综上所述，原不等式得证
例3设0a1a2a
0b1b2b
，而i1i2i
与j1j2j
是12
的两个排列

求证：

abirjs

arbs
r1s1rsr1s1rs
（12）
思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（12）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式
证明：令
dr

b
js
s1rs
（r12
）
显然d1d2d

因为
b1b2b
，且
111
r
r
1
r1
由排序不等式

s1
bsr
s

dr
又因为
a1a2a

所以

ardr
r1


airdr且
r1

ar
r1

s1
bsrs


ardr
r1
（注意到ar
0）
f故

r1
ab
irjs
s1rs


r1
air

s1
bjsrs


airdr
r1


r1
ardr


ar
r1

s1
bsrs


r1

s1
arbsrs
故原式得证
2均值不等式
定理2设a1a2a
是
个正数，则H
G
A
Q
称为均值不等式
其中，
H

1
，
111
a1a2
a

G
a1a2a
，A
a1a2a
，
Q
a12a22a
2

分别称为a1a2a
的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数
证明：先证G
A

记c
a1a2a
，令
bi

aic
，
则原不等式b1b2b

其中
b1b2b


1c

a1a2a

1
取
x1x2x
使
b1

x1x2
b2

x2x3
b
1

x
1x


则
b


x
x1

由排序不等式，易证
b1b2
b


x1x2

x
1x


x
x1



f下证A
Q

因为
a12

a22

a
2

1

a1

a2

a
2
a1

a22

a1

a32

a1

a
2
a2a32a2a42a2a
2a
1a
2

1

a1

a2

a
2
所以
a1a2a
a12a22a
2



从上述证明知道，当且仅当a1a2a
时，不等式取等号
下面证明H
G

111对
个正数，应用G
H
，得
a1a2a

111
a1a2
a
111


a1a2a

即H
G
（等号成立的条件是显然的）
例
4
已知
0

a

1
x2

y2

0，求证：
logaax

ay


loga
2

18

证明：由于0a1，ax0ay0，
有axay2axay2axy
从而
logaaxayloga2
axa
y


loga
2

x
2
y
下证xy1，即xy1。
28
4
又因为xyxx2x111，等号在x1这时y1时取得
244
2
4
所以
loga
a
x

a
y


loga
2

18

例5（IMO）设ar