f1x
limfxlimf1x
fxxx0g1x，即xx0gxxx0g1x。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
lim
x0
xl
13xarcta
x2
解：x0时，l
13x～3x，arcta
x2～x2，
limx3x3
原式x0x2
。
limexesi
x例10x0xsi
x
limesi
xexsi
x1limesi
xxsi
x1
解：原式x0xsi
x
x0xsi
x
。
注：下面的解法是错误的：
limex1esi
x1limxsi
x1
原式x0
xsi
x
x0xsi
x
。
正如下面例题解法错误一样：
limta
xsi
xlimxx0
x0
x3
x0x3
。
ta
x2si
1
lim
x
例11x0si
x
当x0时，x2si
1是无穷小，ta
x2si
1与x2si
1等价
解：
x
x
x，
所以，
lim
x2si

1x
lim
xsi

1
0
原式x0x
x0
x
。（最后一步用到定理2）
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
4
f1xsi
x1
lim例1x0
ex21

limsi
si
x12x0l
x
5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数fx和gx满
足：（1）fx和gx的极限都是0或都是无穷大；
（2）fx和gx都可导，且gx的导数不为0；
limfx（3）gx存在（或是无穷大）；
limfx
limfx
limfxlimfx
则极限gx也一定存在，且等于gx，即gxgx。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验
0

证所求极限是否为“0”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）
则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
1cosx
lim
例12x0
3x2
（例4）
limsi
x1解：原式x06x6。（最后一步用到了重要极限）
cosxlim2例13x1x1
5
flim

2
si
x2


解：原式x1
1
2。
例14
lim
x0
x
si
x3
x
1cosxsi
x1
lim
解：原式x0
3x2
limx06x6。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
si
xxcosx
lim
例15x0
x2si
x
解：
原式

lim
x0
si

xx2
xcosxx

lim
x0
cosx
cosx3x2

xsi

x
xsi
x1
limx0
3x2
3
lim11例18x0xl
1x
lim110
解：错误解法：原式x0xx
。
正确解法：
原式liml
1xxliml
1xxx0xl
1xx0xx
11lim1xlim
x
1。
x02x
x02x1x2
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下r