f1x
limfxlimf1x
fxxx0g1x,即xx0gxxx0g1x。
利用等价无穷小代换(定理4)求极限
例9
lim
x0
xl
13xarcta
x2
解:x0时,l
13x~3x,arcta
x2~x2,
limx3x3
原式x0x2
。
limexesi
x例10x0xsi
x
limesi
xexsi
x1limesi
xxsi
x1
解:原式x0xsi
x
x0xsi
x
。
注:下面的解法是错误的:
limex1esi
x1limxsi
x1
原式x0
xsi
x
x0xsi
x
。
正如下面例题解法错误一样:
limta
xsi
xlimxx0
x0
x3
x0x3
。
ta
x2si
1
lim
x
例11x0si
x
当x0时,x2si
1是无穷小,ta
x2si
1与x2si
1等价
解:
x
x
x,
所以,
lim
x2si
1x
lim
xsi
1
0
原式x0x
x0
x
。(最后一步用到定理2)
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
4
f1xsi
x1
lim例1x0
ex21
limsi
si
x12x0l
x
5.洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数fx和gx满
足:(1)fx和gx的极限都是0或都是无穷大;
(2)fx和gx都可导,且gx的导数不为0;
limfx(3)gx存在(或是无穷大);
limfx
limfx
limfxlimfx
则极限gx也一定存在,且等于gx,即gxgx。
说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验
0
证所求极限是否为“0”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)
则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。
1cosx
lim
例12x0
3x2
(例4)
limsi
x1解:原式x06x6。(最后一步用到了重要极限)
cosxlim2例13x1x1
5
flim
2
si
x2
解:原式x1
1
2。
例14
lim
x0
x
si
x3
x
1cosxsi
x1
lim
解:原式x0
3x2
limx06x6。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)
si
xxcosx
lim
例15x0
x2si
x
解:
原式
lim
x0
si
xx2
xcosxx
lim
x0
cosx
cosx3x2
xsi
x
xsi
x1
limx0
3x2
3
lim11例18x0xl
1x
lim110
解:错误解法:原式x0xx
。
正确解法:
原式liml
1xxliml
1xxx0xl
1xx0xx
11lim1xlim
x
1。
x02x
x02x1x2
应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下r