1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上
lim3x15
面的极限严格定义证明，例如：；x2（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而
不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限
这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1已知limfx，limgx都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）limfxgxAB（2）limfxgxAB
limfxA此时需B0成立（3）gxB
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
1
f8用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
lim3x12例1x1x1
lim3x1222lim
3x3
3
解：原式x1x13x12x1x13x124。
注：本题也可以用洛比达法则。
lim
2
1
例2

lim



2



1
分子分母同除以


lim
3
3

2
1

12112
解：原式



。
1
3

lim
例3

2
3

上下同除以3

lim
1
3
1
1

2
1
解：原式
3
。
3．两个重要极限
limsi
x1（1）x0x
1
lim1xxe
（2）x0
；
lim1
x
1x

x

e
2
f说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
si
3xlim例如：x03x
1
1lim12x2x
，x0
elim1
，x
x
3x

3

e
；等等。
利用两个重要极限求极限
1cosx
lim
例5x0
3x2
2si
2
lim
x0
3x2
x2
2si
2x
lim
2
x012x2

16
解：原式
2
。
注：本题也可以用洛比达法则。
2
lim13si
xx例6x0
lim
1

3
si

x
3
1si

x

6si
x
x
16si
x
lim13si
x3si
xx
e6
解：原式x0
x0
。
lim
2
例7
1
lim1
3

1
3
3
1

lim1
3

13
3
1
e3
解：原式
1


1
。
4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x～si
x～ta
x～arcsi
x～arcta
x～l
1x～ex1。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成gx时（gx0），仍有上面的等价
关系成立，例如：当x0时，e3x1～3x；l
1x2～x2。
定理4如果函数fxgxf1xg1x都是xx0时的无穷小，且fx～
limf1x
limfx
f1x，gx～g1x，则当xx0g1x存在时，xx0gx也存在且等于
3
flimr