2007年全国高中数学联赛
（考试时间：上午8：009：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1如图，在正四棱锥PABCD中，∠APC60°，则二面角APBC的平面角的余弦值为（A）
17
B
17
C
12
D
12
5设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）
6已知A与B是集合1，2，3，…，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若
∈A时总有2
2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A62B66C68D74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7在平面直角坐标系内，有四个定点A3，0，B1，1，C0，3，D1，3及一个动点P，则PAPBPCPD的最小值为__________。8在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，ABEF1，BC6，
CA33，若ABAEACAF2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。
9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，
23为半径作一个球，则球面3
与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。10已知等差数列a
的公差d不为0，等比数列b
的公比q是小于1的正有理数。若a1d，
22a12a2a3是正整数，则q等于________。b1b2b3si
πxcosπx215x，则fx的最小值为________。11已知函数fx44x
b1d2，且
12将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1
f13设a

k
1k，求证：当正整数
≥2时，a
k1


1

1
a
。
14已知过点0，1的直线l与曲线C：yx在点M、N处切线的交点轨迹。
1x0交于两个不同点M和N。求曲线Cx
15设函数fx对所有的实数x都满足fx2πfx，求证：存在4个函数fixi1，2，3，4满足：（1）对i1，2，3，4，fix是偶函数，且对任意的实数x，有fixπfix；（2）对任意的实数x，有fxf1xf2xcosxf3xsi
xf4xsi
2x。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1如图，在正四棱锥PABCD中，∠APC60°，则二面角APBC的平面角的余弦值为（
）
2
fA
17
B
17
C
12
D
12
P
【答案】B【解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角APBC的平面角。不妨设AB2，则PAAC22，斜高为7，故
27AM2r