学习目标1了解导数和微积分的关系2掌握微积分基本定理3会用微积分基本定理求一些函数的定积分
知识点一导数与定积分的关系
bfxdx等于函数fx的任意一个原函数FxF′x＝fx在积分区间a，b上的改变量Fba
－Fa以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v＝vt，那么在时间区间a，b内物体的位移s可以用定积分表
示为s＝bavtdt另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s＝st，那么在时间区间a，b内物体的位移为sb－sa，所以有bvtdt＝sb－sa由于s′t＝vt，即st为
a
vt的原函数，这就是说，定积分bvtdt等于被积函数vt的原函数st在区间a，b上的增a
量sb－sa思考函数fx与其一个原函数的关系：1若fx＝cc为常数，则Fx＝cx；2若fx＝x
≠－1，则Fx＝
＋11x
＋1；3若fx＝1x，则Fx＝l
xx0；4若fx＝ex，则Fx＝ex；5若fx＝ax，则Fx＝l
axaa0且a≠1；6若fx＝si
x，则Fx＝－cosx；7若fx＝cosx，则Fx＝si
x知识点二微积分基本定理
一般地，如果fx是区间a，b上的连续函数，并且F′x＝fx，那么bfxdx＝Fb－Faa
1
f思考1函数fx的原函数Fx是否唯一？2用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案1不唯一2①把被积函数fx变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到Fx，使得F′x＝fx；③利用微积分基本定理求出定积分的值
题型一求简单函数的定积分例1计算下列定积分
1123dx；2022x＋3dx；3－314x－x2dx；412x－15dx
解1因为3x′＝3，
2
所以123dx＝3x1＝3×2－3×1＝3
2因为x2＋3x′＝2x＋3，
2
所以022x＋3dx＝x2＋3x0
＝22＋3×2－02＋3×0＝10
3因为2x2－x33′＝4x－x2，所以－314x－x2dx＝2x2－x333－1＝2×32－333－2×－12－－313＝2304因为16x－16′＝x－15，所以2x－15dx
1
＝16x－1621
＝162－16－161－16＝16反思与感悟1用微积分基本定理求定积分的步骤：
2
f①求fx的一个原函数Fx；②计算Fb－Fa2注意事项：①有时需先化简，再求积分；
②若Fx是fx的原函数，则Fx＋CC为常数也是fx的原函数随着常数C的变化，fx
有无穷多个原函数，这是因为F′x＝fx，则Fx＋C′＝F′x＝fx的缘故因为bfxdxa
＝Fx＋Cba＝Fb＋C－Fa＋C＝Fb－Fa＝Fxba，所以利用fr