x的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了
跟踪训练1求下列函数的定积分：
12x＋1x2dx；29x1＋xdx
1
4
解12x＋1x2dx1
＝12x2＋2＋x12dx
＝2x2dx＋22dx＋2x12dx
1
1
1
＝13x321
2
2x1
1221
＝13×23－13＋2×2－1－12－1
＝269
29x1＋xdx4
＝9x＋xdx4
＝23xx＋12x294＝23×9×3＋12×92－23×4×2＋12×42
＝2761题型二求分段函数的定积分
x3，x∈0，1，例2求函数fx＝x2，x∈1，2，在区间03上的定积分
2x，x∈2，3
3
f解由定积分的性质知：
3fxdx＝1fxdx＋2fxdx＋3fxdx
0
0
1
2
＝01x3dx＋21x2dx＋232xdx
＝x4410＋x3321＋l
2x232
＝14＋83－13＋l
82－l
42
＝3112＋l
42
反思与感悟1分段函数在区间a，b上的定积分可分成几个定积分的和的形式2分段的
标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以
跟踪训练2求下列定积分：
102x2－1dx；2
π
2
1－si
2xdx
0
解1∵y＝x2－1＝1x2－－x12，，01≤≤xx＜≤12，，
∴2x2－1dx＝11－x2dx＋2x2－1dx
0
0
1
＝x－x3310＋x33－x21
＝1－13＋83－2－13－1
＝2
π
221－si
2xdx0
＝0π2si
x－cosxdx
＝π40
cosx－si
xdx＋π2π
si
x－cosxdx
4
＝si
x＋cosxπ40
＋－cosx－si
x24ππ
＝
22＋
22－1＋－1－－
22－
22
＝22－2
4
f题型三定积分的简单应用
例3已知fa＝12ax2－a2xdx，求fa的最大值0
解∵23ax3－12a2x2′＝2ax2－a2x，
∴10
2ax2－a2xdx＝23ax3－21a2x210
＝23a－12a2，
即fa＝23a－12a2＝－12a2－43a＋49＋29
＝－12a－232＋29，
∴当a＝23时，fa有最大值29
反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进
而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用
跟踪训练3b、c的值
已知fx＝ax2＋bx＋ca≠0，且f－1＝2，f′0＝0，1fxdx＝－2，求a、0
解由f－1＝2，得a－b＋c＝2①
又f′x＝2ax＋b，∴f′0＝b＝0，②
而1fxdx＝1ax2＋bx＋cdx
0
0
＝13ax3＋12bx2＋cx10
＝13a＋12b＋c，
∴13a＋12b＋c＝－2，③
由r