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怎样证明两线段相等
求证两线段相等是平面几何中的重要题型,其证明方法较多。为帮助初三学生掌握一些常见的证法,本文在《几何》第二、三册知识范围内,归类总结若干方法如下,供初三学生复习时参考。证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有:1三角形①两线段在同一三角形中,通常证明等角对等边;②证明三角形全等:全等三角形的对应边相等,全等形包括平移型、旋转型、翻折型;③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边;④线段中垂线性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等;⑤角平分线性质:角平分线上的点到这个角两边的距离相等;此外,也有通过计算证明两线段相等,有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1,已知C在BD上,△ABC与△CDE都是等边三角形,BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。求证:CPCQ。证明:因为△ABC和△CDE都是等边三角形,所以在△ACD与△BCE中,ACBC,CDCE。因为∠1∠260°,所以∠ACD∠BCE60°∠3120°,所以△ACD≌△BCE(SAS),所以∠4∠5。在△ACQ与△BCP中,ACBC,∠4∠5,又知∠360°∠1,
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f所以△ACQ≌△BCP(ASA),所以CPCQ。二、利用等腰三角形定理及逆定理证明例2、如图2,已知:在△ABC中,ABAC,在AB、AC上的线段ADAE。求证:FBFC,FEFD。证明:在△ABC中,因为ABAC,ADAE,所以DBEC。在△EBC与△DCB中,因为DBEC,BCBC,又∠ABC∠ACB(等腰三角形的底角相等),所以△EBC≌△DCB(SAS),所以BECD,∠EBC∠DCB,所以△FBC是等腰三角形,所以FBFC,故,即FEFD。
证法2:也可以△ACD≌△ABE(SAS),从而得到∠ABE∠ACD,证得△FBC为等腰三角形,再通过平行线内错角相等证明△FDE为等腰三角形。三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明例3、如图3,已知△ABC为Rt△,D为斜边AB的中点,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F。求证:AECE,BFCF。证明:因为D是Rt△ABC的斜边AB的中点,所以连CD后,则ADCDBD。所以△CDA与△CDB均为等腰三角形,另外DE⊥AC,DF⊥BC,所以AECE,BFCF。(等腰三角形底边上的高平分底边)。证法2:可直接用三角形中位线定理或平行线截取线段成比例证明。四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明
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f例4、如图4,已知:△ABC中,ABAC,AD是底边BC上的中线,∠B、∠C的平分线交于I,求证:I到AB、BC、CA的距离相等。证明:因为ABAC,AD是BC边的中线,所以AD平分∠BAC且AD⊥BC,而∠B、∠Cr
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