章第二节）：
解：limx3
0
xx2
39
0
L
lim
x3
x3
x29

lim
x3
12x

16
○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）
（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那
么，limxx0
f
x

f

lim
xx0


x

【题型示例】求值：limx3
x3x29
【求解示例】limx3
x3x29

lim
x3
x3x29

1666
第六节极限存在准则及两个重要极限
○夹迫准则（P53）（★★★）
第一个重要极限：limsi
x1x0x
∵x0，si
xxta
x∴limsi
x1
2
x0x
limxlim1
lim1
x0
1
x0si
x
x0si
xx
lim
x0

si
x
x

（特别地，limsi
xx01）xx0xx0
○单调有界收敛准则（P57）（★★★）
第二个重要极限：lim1
1
x


e
xx
（一般地，
lim
f
xgx

lim
f
x
lim

g

x
，其中
limfx0）
【题型示例】求值：lim2x3x1x2x1
【求解示例】
解：limx

2x2x
31
x1

lim
x

2x12x1
2
x1

lim
2x1
1
22x1
x1

2
lim
x1
1

22x12x122x1
2x1

lim
2x1
1
2
2x
1

2
x12

2
2
x1
x1
lim12x21e2x1
2x1
2
lim
x1

2
2
x1
x
1
2
2
xli1m
2
2
x1
x1


eee2
xli1m
2x22x1

1
第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）
Usi
Uta
Uarcsi
Uarcta
Ul
1U
1．eU1
2．1U21cosU2
（乘除可替，加减不行）
【题型示例】求值：
lim
x0
l

1

xxl
1
x23x

x
【求解示例】
解：因为x

0即x

0所以原式

lim
x0
l
1
xxl
1
x23x
x

lim
x0
1
xl
1xx3
x

lim
x0
1xxxx3

lim
x0
x1x3

13
第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）
lim
xx0
f
x
lim
xx0
f
x
f
x0
○间断点的分类（P67）（★）
第一类间断点（左右极限存在）可跳去越间间断断点点（（相不等等））
第二类间断点无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
【题型示例】设函数
f
x
e2x
，x0应该怎样选
axx0
择数a，使得fx成为在R上的连续函数？
【求解示例】
f0e20e1e
1．∵

f
0
a0a

f
0

a
2．由连续函数定义limfxlimfxf0e
x0
x0
∴ae
高等数学期末复习资料第2页（共9页）
f第九节闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）
【题型示例】证明：方程fxgxC至少有一个根
介于a与b之间
【证明示例】
1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在
闭区间ab上连续；
2．∵ab0（端点异号）
3．∴由零点定理，在开区间ab内至少有一点，使
得0，即fgC0（01）
4．这等式说明方程fxgxC在开区间ab
内至少有一个根
第二章导数与微分
第r