高等数学（本科少学时类型）
第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）
Uaxxa
Uax0xa
第二节数列的极限○数列极限的证明（★）
【题型示例】已知数列
x


，证明
lim
x
x



a
【证明示例】N语言
1．由x
a化简得
g，
∴Ng
2．即对0，Ng。当
N时，始终
有不等式x
a成立，
∴
lim
x
x



a
第三节函数的极限
○xx0时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数fx，证明limfxAxx0
【证明示例】语言
1．由fxA化简得0xx0g，∴g
2．即对0，g，当0xx0时，
始终有不等式fxA成立，
∴limfxAxx0
○x时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数fx，证明limfxAx
【证明示例】X语言
1．由fxA化简得xg，
∴Xg
2．即对0，Xg，当xX时，始终有
不等式fxA成立，
∴limfxAx
第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）
函数fx无穷小limfx0函数fx无穷大limfx
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）
（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，
则limfxgx0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为
无穷大，则f1x为无穷小；反之，若fx为无
穷小，且fx0，则f1x为无穷大
【题型示例】计算：
lim
xx0

f
x
g
x
（或
x


）
1．∵fx≤M∴函数fx在xx0的任一去心

邻域Ux0内是有界的；
（∵fx≤M，∴函数fx在xD上有界；）
2．
lim
xx0
gx

0
即函数
gx是
x

x0时的无穷小；
（limgx0即函数gx是x时的无穷小；）
x
3．由定理可知
lim
xx0

f
x
g
x

0
（
lim
x

f
x
g
x

0
）
第五节极限运算法则
○极限的四则运算法则（★★）
（定理一）加减法则
（定理二）乘除法则
关于多项式px、qx商式的极限运算
设：
pxqx
a0xma1xm1amb0x
b1x
1b


则有
lim
x
pxqx


a0b0
0

m
m
m
fx0
lim
xx0
fg
xx

gx0

0
0
gx00gx00fx00gx0fx00
（特别地，当limfx0（不定型）时，通常分gxx0x0
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极
限值，也可以用罗比达法则求解）
【题型示例】求值limx3x3x29
高等数学期末复习资料第1页（共9页）
f【求解示例】解：因为x3，从而可得x3，所以原式limx3limx3lim11
x3x29x3x3x3x3x36
其中
x

3为函数
f
x

x3x29
的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解（详见第三r