系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，作辅助线构造梯形，利用SS梯形PEOCS△CODS△PDE求出S关于x的表达式；求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围；（3）由于三角形的各边，只有OD2是确定长度的，因此可以以OD为基准进行分类讨论：①ODOP．因为第一象限内点P到原点的距离均大于4，因此OP≠OD，此种情形排除；②ODOE．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；③ODPE．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．解答：（1）由题意得：OC4，OD2，∴DMOCOD6，∴顶点M坐标为（2，6）解：．2设抛物线解析式为：ya（x2）6，∵点C（0，4）在抛物线上，∴44a6，解得a．（x2）6
2
∴抛物线的解析式为：y
x2x4．
2
（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．
∵P（x，y），且点P在第一象限，∴PEy，OEx，∴DEOEODx2．SS梯形PEOCS△CODS△PDE（4y）x×2×4（x2）yy2x4．将yx2x4代入上式得：S
22
x2x42x4
2
2
x4x．．
2
在抛物线解析式y
x2x4中，令y0，即，0），
x2x40，解得x2±
设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2∴0＜x＜2．
f∴S关于x的函数关系式为：S
x4x（0＜x＜2
2
）．
（3）存在．若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：（I）ODOP．由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在．（II）ODOE．若点E在y轴正半轴上，如答图2所示：
此时△OPD≌△OPE，∴∠OPD∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上，∴直线PE的解析式为：yx；若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．（III）ODPE．∵OD2，∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2，则点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合．若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等；若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形，
∴直线PE的解析式为：y6．综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为yx或y6．点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、全
f等三角形、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，两个三角形中只有一边为定长，因此分类讨论稍显复杂，需要仔细分析．
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