14不等式的证明（一）
一、选择题
1若a，b为不等的正数，则abk＋akb－ak＋1＋bk＋1k∈N＋的符号
A恒正
B恒负
C与k的奇偶性有关
D与a，b大小无关
解析abk＋akb－ak＋1－bk＋1
＝bka－b＋akb－a＝a－bbk－ak
∵a0，b0，若ab，则akbk，∴a－bbk－ak0；
若ab，则akbk，∴a－bbk－ak0
答案B
2若a1，m＝a＋1＋a，
＝a＋2＋a－1，则m与
的关系是
Am
Cm≤

Bm
Dm≥

答案B
3设a、b、c、d、m、
∈0，＋∞，P＝ab＋cd，Q＝ma＋
cmb＋d
，
则有
AP≥Q
BP≤Q
CPQ解析采用先平方后作差法
DPQ
∵P2－Q2＝ab＋cd＋2abcd－ab＋cd＋m
ad＋m
bc
＝2abcd－m
ad－m
bc＝－m
ad－∴P2≤Q2，又∵P0，Q0，∴P≤Q
m
bc2≤0，
答案B
4已知a，b，c，d都是正数，且bcad，则ab，ba＋＋dc，ba＋＋22dc，dc中最大的是

a
a＋c
Ab
Bb＋d
fa＋2c
c
Cb＋2d
Dd
解析ab－dc＝adb－dbc0，∴abdc，
dc－ba＋＋dc＝bc＋d（cdb－＋add）－dc＝d（bcb－＋add）0，
dc－ba＋＋22dc＝bc＋d2（cdb－＋a2dd－）2cd＝d（bbc－＋a2dd）0，
所以最大的是dc
答案D
5设a＝si
15°＋cos15°，b＝si
16°＋cos16°，则下列各式正确的是
a2＋b2Aa2b
a2＋b2Bab2
a2＋b2Cba2
a2＋b2Db2a
解析a＝si
15°＋cos15°＝2si
60°，
b＝si
16°＋cos16°＝2si
61°，∴ab，排除C、D又a≠b，∵a2＋2b2ab＝2si
60°2si
61°＝3si
61°2si
61°＝b，故aba2＋2b2成立
答案B6已知a，b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的
A充分而不必要条件
B必要而不充分条件
C充分必要条件
D既不充分也不必要条件
解析当a2b2时，a2－b20，即a＋ba－b0，当a，b同为正时，有ab；
当a、b同为负时，ab，所以当a2b2时，不一定有ab成立反之，当ab
时，也不一定有a2b2，例如1－2，而12－22
答案D
二、填空题
7下列四个不等式：①a0b；②ba0；③b0a；④0ba，其中能使1a1b成
f立的充分条件有________解析1a1bba－ba0b－a与ab异号，①②④均能使b－a与ab异号答案①②④8设a5，则a－3－a－4与a－4－a－5的大小关系是__________________解析因为a5，只需比较a－3＋a－5与2a－4的大小，两数平方，即比较（a－3）（a－5）与a－4的大小，再平方，只需比较a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小答案a－3－a－4a－4－a－5三、解答题9已知a，b∈R＋，
∈N＋，求证：a＋ba
＋b
≤2a
＋1＋b
＋1证明2a
＋1＋b
＋1－a＋ba
＋b
＝2a
＋1＋2b
＋1－a
＋1－ab
－ba
－b
＋1＝a
＋1－ab
－ba
＋b
＋1＝a
a－b－b
a－b＝a－ba
－b
∵ar