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21切线的判定与性质
知识考点:
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。
精典例题:
【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)EM=FM。分析:(1)由于AC为直径,可考虑连结EC,构造直角三角形来解题,要证BC是⊙O的切线,证到∠1+∠3=90即可;(2)可证到EF∥BC,考虑用比例线段证线段相等。证明:(1)连结EC,∵DE=CD,∴∠1=∠2∵DE切⊙O于E,∴∠2=∠BAC∵AC为直径,∴∠BAC+∠3=90
000
BEMAO

231
DC
∴∠1+∠3=90,故BC是⊙O的切线。(2)∵∠1+∠3=90,∴BC⊥AC又∵EF⊥AC,∴EF∥BC∴
0
F
例1图
EMAMMFBDADCD
∵BD=CD,∴EM=FM【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为
A
圆心的圆与AB
相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。分析:由于⊙O与AC有无公共点未知,因此我们从圆心OOE,证OE就是⊙O的半径即可。证明:连结OD、OA,作OE⊥AC于E∵AB=AC,OB=OC,∴AO是∠BAC的平分线∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB又∵OE⊥AC,∴OE=OD
例2图
BDE
向AC作垂线段
C
O
f∴AC是⊙O的切线。【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=r。(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求ADOC的值;(3)若AD+OC=
9r,求CD的长。2
分析:(1)要证CD是⊙O的切线,由于D在⊙O上,所以只须连结OD,证OD⊥DC即可;(2)求ADOC的值,一般是利用相似把ADOC转化为其它线段长的的乘积能求出来,则可完成;(3)由ADOC,AD+OC据勾股定理即可求出CD。证明:(1)连结OD,证∠ODC=90即可;(2)连结BD∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90∵∠OBC=90,∴∠ADB=∠OBC又∠A=∠3,∴△ADB∽△OBC∴
000
CD12AO
3
乘积,若其它两条线段长=
9r可求出AD、OC,根2
B
例3图
ADABOBOC
2
∴ADOCOBAB2r
2
(3)由(2)知ADOC2r,又知AD+OC=
2∴AD、OC是关于x的方程x
9r2
9rx2r20的两根2
解此方程得x1
r,x24r2
∵OC>r,∴OC=4r∴CD=OCOD16rr15r
2222
探索与创新:
【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为r
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