21切线的判定与性质
知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）EM＝FM。分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3＝90即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BAC∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝90
000
BEMAO

231
DC
∴∠1＋∠3＝90，故BC是⊙O的切线。（2）∵∠1＋∠3＝90，∴BC⊥AC又∵EF⊥AC，∴EF∥BC∴
0
F
例1图
EMAMMFBDADCD
∵BD＝CD，∴EM＝FM【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为
A
圆心的圆与AB
相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心OOE，证OE就是⊙O的半径即可。证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB又∵OE⊥AC，∴OE＝OD
例2图
BDE
向AC作垂线段
C
O
f∴AC是⊙O的切线。【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝r。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求ADOC的值；（3）若AD＋OC＝
9r，求CD的长。2
分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC即可；（2）求ADOC的值，一般是利用相似把ADOC转化为其它线段长的的乘积能求出来，则可完成；（3）由ADOC，AD＋OC据勾股定理即可求出CD。证明：（1）连结OD，证∠ODC＝90即可；（2）连结BD∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90∵∠OBC＝90，∴∠ADB＝∠OBC又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC∴
000
CD12AO
3
乘积，若其它两条线段长＝
9r可求出AD、OC，根2
B
例3图
ADABOBOC
2
∴ADOCOBAB2r
2
（3）由（2）知ADOC2r，又知AD＋OC＝
2∴AD、OC是关于x的方程x
9r2
9rx2r20的两根2
解此方程得x1
r，x24r2
∵OC＞r，∴OC＝4r∴CD＝OCOD16rr15r
2222
探索与创新：
【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为r