构造函数法在不等式证明中运用
作者：酒钢三中樊等林
不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。一、构造函数利用判别式证明不等式①构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。例1设：a、b、c∈R，证明：a2acc23babc0成立，并指出等号何时成立。解析：令faa23bcac23b23bc＝3bc24c23b23bc3bc2∵b、c∈R，∴≤0即：fa0，∴a2acc23babc0恒成立。当＝0时，bc0，此时，faa2acc23abac20，∴abc时，不等式取等号。例2
4已知：abcR且abc2a2b2c22，求证：abc0。3
abc2解析：2消去c得：a2b2ab22b10，此方程恒成立，22abc2
∴＝b224b22b13b24b0，即：0b
4同理可求得ac03
4。3
②构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：fxa1xb12a2xb22a
xb
2由fx0，得≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明
f快的证明。例3设abcdR且abcd1，
求证：4a14b14c14d16。解析：构造函数：
fx4a1x124b1x124c1x124d1x12
＝8x224a14b14c14d1x4abcd1由fx0，得≤0，即＝44a14b14c14d121280∴4a14b14c14d1426例4设abcdR且abc1，求
1axa2
149r