方程；
（Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L
的斜率k的取值范围。
15、已知
是方程4x24tx10
tR的两个不等实根，函数
fx
2xt的定义x21
域为。
（Ⅰ）求gtmaxfxmi
fx；
（Ⅱ）证明：对于ui
02
i
123，若si

u1

si

u2

si

u3
1
则11136。gta
u1gta
u2gta
u34
二○○四年全国高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准
f说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、解：因方程x24xcoscot0有重根，故16cos24cot0
04cot2si
210得si
21
2
2
2或25，于是或5。故选B。
6
6
1212
2、解：MN相当于点（0，b）在椭圆x22y23上或它的内部
f2b21

6b
6。
3
2
2
故选A。

3、解：原不等式等价于

log2
x
1

32
log2
x

32

12

0
log2x10
设
log2
x1t
则有
t

32
t
2
12
0
t0
解得0t1。
即0log2x112x4。故选C。
4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，
OAOC2OD1
则
2OBOC4OE2
由（1）（2）得，
B
A
DO
E
C
fOA2OB3OC2OD2OE0，
即OD与OE共线，
且OD2OE
SAEC3SABC323，故选C。
SAOC2
SAOC
2
解法2如图建立坐标系xoy，分别设Aa0B0bCc0Oxy，
则OAaxyOBxbyOCcxy
由OA2OB3OC0得，yb，3
Sb3ABC
，故选C新疆王新敞
奎屯
SAOCy
yB
O
y
C
oD
Ax
5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即abc129
f（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为
1，由于三位数中三个数码都相同，所
以，
1C919。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为
2，由于三位数中只有2个
不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2C92。
但当大数为底时，设ab，必须满足ba2b。此时，不能构成三角形的数码是
a
9
8
7
6
5
4
321
4，3
b
2，1
共20种情况。
4，32，1
3，21
3，21
1，2
1，211
同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C32种情况。
故
2C322C92206r