棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、
SC的中点．证明：EF∥平面SAD
2
f证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
设Aa，0，0，S0，0，b，则Ba，a，0，C0，a，0，Ea，a2，0，F0，a2，b2E→F＝－a，0，b2
取SD的中点G0，0，b2，连接AG，则A→G＝－a，0，b2因为→EF＝→AG，所以EF∥AG，又AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF∥平面SAD10如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是B1B，AB，BC的中点．证明：D1F⊥平面AEG
证明：设→AB＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则D→1F＝D→1A1＋A→1A＋A→F＝－→AD－A→A1＋12→AB＝12a－b－c，→AG＝→AB＋→BG＝→AB＋12B→C＝a＋12b，→AE＝→AB＋→BE＝→AB＋12B→B1＝a＋12c，∴D→1F→AG＝12a－b－ca＋12b＝0，∴D→1F⊥→AG，即D1F⊥AGD→1FA→E＝12a－b－ca＋12c＝0，∴D→1F⊥→AE，即D1F⊥AE，又AE∩AG＝A，∴D1F⊥平面AEG
能力提升1已知平面α内有一点A2，－1，2，它的一个法向量为
＝3，1，2，则下列点P中，在平面α内的是
3
fA．1，－1，1
B．1，3，32
C．1，－3，32
D．－1，3，－32
解析：选B要判断点P是否在平面内，只需判断向量→PA与平面的法向量
是否垂直，即判
断P→A
是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A，→PA＝1，0，1，则P→A
＝1，0，13，1，2＝5≠0，故排除A；
对于选项B，→PA＝1，－4，12，则→PA
＝1，－4，123，1，2＝0，故选B
2如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两
个平面后，有以下四个结论：
①B→DA→C≠0；②∠BAC＝60°；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是________请把正确结论的序号都填上．解析：∵DA、DB、DC两两垂直，且DA＝DB＝DC，∴△ABC为正三角形；D在平面ABC上的射影在△ABC中心，故三棱锥DABC为正三棱锥，故①④不正确，②③正确．答案：②③31如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝
∠BCD＝60°求证：CC1⊥BD2如图，已知平行四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线
BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE，求证：MN∥平面CDE
证明：1设→CB＝a，C→D＝b，C→C1＝c，则a＝b
4
f∵B→D＝C→D－C→B＝b－a，∴B→DC→C1＝b－ac＝bc－ac＝bccos60°－accos60°＝0，∴C→C1⊥→BD，即CC1⊥BD2→MN＝→MB＋→BA＋→AN＝13r