24用向量讨论垂直与平行
基础达标
1若→OA＝1，2，3，→OB＝－1，3，4，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是
A．1，7，5
B．1，－7，5
C．－1，－7，5
D．1，－7，－5
解析：选C因为－1，－7，51，2，3＝－1－14＋15＝0，－1，－7，5－1，3，
4＝1－21＋20＝0，
所以向量－1，－7，5能成为平面OAB的法向量．
2若直线l的方向向量为a＝1，0，2，平面α的法向量为u＝－2，0，－4，则
A．l∥α
B．l⊥α
C．lα
D．l与α斜交
解析：选B∵u＝－2a，a与u共线，∴l⊥α
3已知A1，－2，11，B4，2，3，C6，－1，4，则△ABC的形状是
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C→CA＝－5，－1，7，C→B＝－2，3，－1，由于C→AC→B＝0且C→A≠→CB，故
选C
4已知平面α与β的一个法向量分别是a＝x，2，2，b＝1，3，y，若α⊥β，且a
＝26，则y＝
A．－5
B．－1
C．4或－4
D．－5或－1
解析：选D∵α⊥β，∴a⊥b，即x＋6＋2y＝0①，
又a＝26，∴x2＋22＋22＝24②，由①②解得y＝－5或y＝－1
5在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，E是BC的中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是
A．相交但不垂直
B．A1E∥平面AB1C1C．A1E⊥平面AB1C1D．A1E平面AB1C1解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系．
1
f取AB＝1，则A0，0，0，B1，0，0，C0，1，0，E12，12，0，A10，0，1，B11，
0，1，C10，1，1，A→1E＝12，12，－1A→B1＝1，0，1，A→C1＝0，1，1，由于A→1EA→B1≠0，
A→1EA→C1≠0，故选A6已知点A2，4，0，B1，3，3，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．
解析：令C的坐标为0，y，z，
则由→AB＝λA→C，得－－11＝＝－（2yλ－，4）λ，解得
y＝2，z＝6，
3＝zλ，
λ＝12
答案：0，2，6
7设平面α的一个法向量为3，2，－1，平面β的一个法向量为－2，－43，k，若α∥β，
则k等于________．
3＝－2λ
解析：∵α∥β，∴3，2，－1＝λ－2，－43，k，即
42＝－3λ
，解得k＝23
－1＝λk
2答案：3
8平面α与平面β的法向量分别是m，
，直线l的方向向量是a，给出下列论断：①m∥
α∥β；②m⊥
α⊥β；③a⊥ml∥α；④a∥ml⊥α
其中正确的论断为________把你认为正确论断的序号填在横线上．
解析：m∥
α∥β或α、β重合，①不正确；②m⊥
α⊥β，②正确；③a⊥ml∥α或lα，③不正确；a∥ml⊥α，④正确．
答案：②④
9如图，在四r