充要条件有解时用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近再对矩阵方程AXATB有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式
设Rm
表示全体
m阶实矩阵集合ra
kA表示矩阵A的秩J
表示
01次对角线上元素全为1其余元素全为0的方阵J
即10

T显然有J
1J
J
J
成立OR
表示
阶正交矩阵全体
本文要讨论以下问题
问题1
给定矩阵AB∈m
求实行对称方阵X使得AXB
求使得XX1mi
XX1其中SE问题2给定X1∈R
X∈SEX∈S
E
∧
∧
为问题1的解集
问题3给定矩阵AB∈Rm
求实行对称方阵X使得AXATB
定义12设Aaij∈R
m若A满足aija
i1ji12
j12m
3
f则称A为
m行对称矩阵所有
m行对称矩阵的全体记为
RSR
m
考查满足aij

a
i1j的矩阵A不难发现A是关于行具有某种对称
性的矩阵即当阶数
为奇数时以将

1行为对称线矩阵A的行关2
2于该线对称当阶数
为偶数时在行与行间做一条直线则A22
的行关于该直线对称或简单的说将A进行上下翻转后矩阵不变我们就称这种矩阵为行对称矩阵
为了更好的了解行对称矩阵我们介绍一下行对称矩阵的性质
1当
2k时RSR
mA
A1kmA∈RJkA11
2当
2k1时RSR

m
A1AαA1∈Rkmα∈R1mJAk1
定义21设Aaij
mrArATA的大于零的特征值为λ1λ2λr则
λ1λ2λr称为A的奇异值
定义31设矩阵A∈R
m若矩阵X∈Rm
满足如下四个Pe
rose方程AXAAXAXX
AXTAX
4
fXATXA
则称X为A的Pe
rose广义逆记为A设矩阵A∈R
m若矩阵X∈Rm
满足AXPRAXAPRX其中PL是子空间L上的正交投影矩阵则称X为A的Moore广义逆矩阵Moore广义逆矩阵与Pe
rose广义逆矩阵是等价的因此A通常称为MoorePe
rose广义逆显然当A为非奇异矩阵时有AA1
定义41
2设Aaij
∈R
令A∑aij12trATA则ij1


称为
R
上的Frobe
ius范数
引理12A∈RSR
m当且仅当AJ
A证明
J
的第i行为00100J
A的第i行j列位置的元素为a
i1jaija
i1j
i1
A∈RSR
m
引理21设Aaijm
且λ1λ2λr为A的奇异值分解则A有如
5
f下分解
λ1AUDVTD00m

λr
其中UV分别为m阶和
阶的正交矩阵上式称为A的奇异值分解
引理31对任意A∈m
A存在并且唯一
引理43给定矩阵AB∈m
若矩阵A的奇异值分解为AU
∑0TV00
其中r