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对称性在数学解题中的应用
作者：胡晓明来源：《中国校外教育理论》2009年第15期
摘要在数学领域对称性问题很多重视对称性的研究不仅增强解题技巧而且对数学的发展也是十分有益的。本文主要介绍对称性在解题中的应用分为三个部分第一部分介绍对称性在几何中的应用第二部分介绍对称性在积分中的应用第三部分介绍对称性在方程中的应用。
关键词对称性几何积分方程
数学是研究美的科学几何是数学中对美的研究尤其突出的对称是数学中完美性最突出的生活中的对称是美的表现宇宙中有许许多多具有某种对称性东西它必然反映到研究物质空间形式和数量关系的数学中来。数学的许多研究对象、研究手段都与对称性有关大量的公式及定理的形式也具有心悦目的对称美。因此如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性并使人们的思维过程与之相适应不但可以更好的把握事物的本质还可以使思维和推理过程更简洁更快地打开思路并能快捷地解决问题。
在几何、积分、方程中许多问题的解决都采用了对称性原理。下面以三种类型题为例初步讨论对称性在数学解题中的应用。
几何中的对称主要是轴对称和中心对称。轴对称任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分中心对称任一对对应点的连线段过对称中心且被中心平分
几何中的对称性是极为普遍的并有相对的固定规律。
一、对称性在几何中的应用
在几何方面对称性较为直观通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象。球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的利用它们的对称性可以解决许多几何问题。
图1
1解决平面几何问题
例1证明等腰三角形的两底角相等。
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分析此题的常规证法是通过作等腰三角形底边上的高而得到两个全等的三角形从而由对应角相等来证明命题成立。若我们能发现△ABC与△ACB的对称性就能够更简单地证明。
证明如图1所示在△ABC与△ACB因为∠A∠AABACACAB所以△ABC≌△ACB因此∠B∠C。
当然此题用常规思维通过作底边上的高同样比较容易证到所要证的结论。但利用对称性来证明是一种很好的证明方法更加简单能够培养人的发散思维。
2解决解析几何问题
此题的关键是挖掘直线x2是yfx的图像的对称轴的隐含条件在此可以体会到对称性的重要作用。
二、对称性在积分中的应用
以上各种类型的积分都是利用对称性来解题充分体现了数学分析的对称美其中包括公式的对称、符号的对称、运算的对称达到事r