fx可求出yfx在区间ab内的极值并与边界值fafb作比较求出函数的最值可得到函数y的值域。例5已知2x2x33x2x1≤0且满足xy1求函数zxy3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵3x2x1＞0，上述分式不等式与不等式2x2x3≤0同解，解之得－1≤x≤32，又xy1，将y1x代入zxy3x中，得zx24x1≤x≤32∴zx224且x∈132函数z在区间132上连续，故只需比较边界的大小。当x1时，z－5；当x32时，z154。∴函数z的值域为｛z－5≤z≤154｝。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若√x为实数，则函数yx23x5的值域为（答案：D）。六．图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数yx1√x22的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为－2x1x≤1y31x≤22x1x2它的图象如图所示。显然函数值y≥3所以，函数值域3，＋∞。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y4x－√13xx≤13的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即gx－√13xyfxgx，其定义域为x≤13，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：fx4xgx－√13xx≤13易知它们在定义域内为增函数，设从而yfxgx4x－√13x在定义域为x≤13上也为增函数，而且y≤f13g1343因此，所求的函数值域为｛yy≤43｝。（）A．（－∞，＋∞）B．－7，＋∞C．0，＋∞）D．－5，＋∞）
f点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y3√4x的值域。答案：｛yy≥3｝八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例2求函数yx3√2x1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t√2x1（t≥0）则x12t21。于是y12t213t12tr