可对a1b1使用相应的定理，要注意，相关定理及推论中互素的条件是经常出现的。读者必须注意定理成立的条件，也可以例举反例来进行说明以加深影响。顺便指出，若ac，bc，（ab）
1，则abc是我们解决当除数为合数时的一种方法。好处是不言而喻的。最小公倍数实际上与最大公因数为对偶命题。特别要指出的是a和b的公倍数是有无穷
多个。所以一般地在无穷多个数中寻找一个最小数是很困难的，为此在定义中所有公倍数中的最小的正整数。这一点实际上是应用自然数的最小自然数原理，即自然数的任何一个子集一定有一个最小自然数有在。最小公倍数的问题一般都可以通过以下式子转化为最大公因数的问题。两者的关系为
4
fab∈N，
a
b
ab
ab

上述仅对二个正整数时成立。当个数大于2时，上述式子不再成立。证明这一式子的关键是寻找ab的所有公倍数的形式，然后从中找一个最小的正整数。
解决了两个数的最小公倍数与最大公因数问题后，就可以求出
个数的最小公倍数与最
大公因数问题，可以两个两个地求。即有下面定理
设a1a2a
是
个整数，a1a2d2d2a3d3d
1a
d
则（a1a2a
）
d
设a1a2m2m2a3m3m
1a
m
则有a1a2a
m
素数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。除1外任何正整数不是质
数即为合数。判断一个已知的正整数是否为质数可用判别定理去实现。判别定理又是证明素数无穷的关键。实际上，对于任何正整数
1，由判别定理一定知存在素数p，使得p
。即任何大于1的整数一定存在一个素因数p。素数有几个属于内在本身的性质，这些性质是在独有的，读者可以用反例来证明：素数这一条件必不可少。以加深对它们的理解。其中p
abpa或pb也是常用的性质之一。也是证明算术基本定理的基础。算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，即任何整数一定能分解成一些素数的乘
积，而且分解是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供了解决其它问题的理论保障。它有许多应用，由算术基本定理我们可以得到自然数的标准分
解问题。
设a
p11

p
k
k
，b
p11

p

k
k
，i
0i
0则有
（a，b）
p1
1

p
k
k
imi
ii
a，b
p11

p

k
k
imaxii
例如可求最大公约数，正整数正约数的个数等方面问题，对具体的
，真正去分解是件
不容易的事。对于较特殊的
，例如
！分解还是容易的。应用x的性质，
！的标准分解
式可由一个具体的公式表r