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定理、Eratosthese
筛法、x和x的性质、
!的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习,能了解引进整除概念的意义,熟练掌握整除整除的定义以及它的基本
性质,并能应用这些性质,了解解决整除问题的若干方法,熟练掌握本章中二个著名的定理:带余除法定理和算术基本定理。认真体会求二个数的最大公因数的求法的理论依据,掌握素数的定义以及证明素数有无穷多个的方法。能熟练求出二个整数的最大公因数和最小公倍数,掌握高斯函数x的性质及其应用。
三、重点和难点(1)素数以及它有关的性质,判别正整数a为素数的方法,算术基本定理及其应用。(2)素数有无穷多个的证明方法。(3)整除性问题的若干解决方法。(4)x的性质及其应用,
!的标准分解式。
四、自学指导整除是初等数论中最基本的概念之一,ba的意思是存在一个整数q,使得等式abq
成立。因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础。也为我们提供了解决整除问题的方法。即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时,可以将其转化为我们很熟悉的等号问题。
对于整除的若干性质,最主要的性质为传递性和线性组合性,即
(1)abbc则有ac
3
f(2)abac则有amb
c
读者要熟练掌握并能灵活应用。特别要注意,数论的研究对象是整数集合,比小学数学中非负整数集合要大。
本章中最重要的定理之一为带余除法定理,即为
设a是整数,b是非零整数,则存在两个整数q,r,使得
abqr
(0rb)
它可以重作是整除的推广。同时也可以用带余除法定理来定义整除性,(即当余数r0
时)。带余除法可以将全体整数进行分类,从而可将无限的问题转化为有限的问题。这是一
种很重要的思想方法,它为我们解决整除问题提供了又一条常用的方法。同时也为我们建立同余理论建立了基础。读者应熟知常用的分类方法,例如把整数可分成奇数和偶数,特别对素数的分类方法。例全体奇素数可以分成4k1,4k3;或6k1,6k5等类型。
和整除性一样,二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的,因此在解决此类问题
时若有必要可化为等式问题,最大公因数的性质中最重要的性质之一为abqc,则一定有
(a,b)(b,c),就是求二个整数的最大公约数的理论根据。也是解决关于最大公约数问题的常用方法之一。读者应有尽有认真体会该定理的证明过程。
互素与两两互素是二个不同的概念,既有联系,又有区别。要认真体会这些相关的性质,
例如,对于任意ab∈Z,可设(ab)d,则ada1bdb1,则(a1b1)1,于是r
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