首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
（2004年7月10日8：0012：00一、设实数a、b、c满足a2
2b3c
22
温州）
9
b
32
，求证：3a
27
c
1
二、设D是ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DEDF，求证：DMDN三、（1）是否存在正整数的无穷数列a
，使得对任意的正整数
都有2a
12a
a
2。（2）是否存在正无理数的无穷数列a
，使得对任意的正整数
都有
a
12a
a
2。
2
四、给定大于2004的正整数
，将1、2、3、…、
2分别填入
×棋盘（由
行
列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数且大于它所在列至少2004，个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天
（2004年7月11日8：0012：00五、已知不等式
02
温州）对于
22a3cos

4

6si
cos
2si
23a6
恒成立，求a的取值范围。
六、设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：
CDEFDFAEBDAF
七、
支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，求
的最大值。注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛。八、求满足
xyxyyzyzzuzu0，且1xy、z、10、u
的所有四元有序整数组
f（xyzu）的个数。
答案
一、由柯西不等式，
a2b3c1
2222
2
a
31a2b3c
22

2
9
33
所以，a
2b3c3，所以3
9
b
27
c
33
3
a2b3c
33
1
二、证明：对AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：
11，PDEMBA对AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理
M
A
AP
DE
MB
P
C
得：
ACCFABBM

FNNDMDDF

DPPAFCCA
1
2，
B
DF
N
对AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：
13DEEMDMDMDEDNDNDEFNNDMDDF1，又
（1）（3）式相乘得：（2）
DEr