实验四应用FFT实现信号频谱分析
一、实验目的
（1）能够熟练掌握快速离散傅里叶变换FastFourierTra
sformFFT的原理及应用FFT进行频谱分析的基础方法。（2）对离散傅里叶变换的主要性质及FFT在数字信号处理中的重要作用有进一步的了解。
二、基本原理
1．离散傅里叶变换（DFT）及其主要性质DFT表示离散信号的离散频谱，DFT的主要性质中有奇偶对称特性虚实特性等。通过实验可以加深理解。实序列的DFT具有偶对称的实部和奇对称的虚部，这可以证明如下：由定义，可得
kmXmxkwNk0N1

xkcos
k0N1k0
N1
N122kmjxksi
kmNNk0
NmkXNmxkwN

xkw
k0
N1
NkN
k
wN

xkw
k0N1k0
N1
kmN

xkcos

N122kmjxksi
kmNNk0
所以：xkxNk实序列DFT的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。对于单一频率的三角序列来说，它的DFT谱线也是单一的，这个物理意义可以从实验中得到验证，在理论上可以推导如下：设：
Xksi

2kRNkN
N1k0j2kmN
其DFT为：
Xmxke
f
si
k0
N1
jkm2keNN2kN2kN2kmN
2

12j
e
k0
N1
j
e
j
e
j
12j
从而X0
e
k0
N1
j
2m1kN
e
j
2m1kN

12j12j
e
k0
N1
j
2kN
e
j
2kN
0
X1
1e
k0
N1
j
4kN

NNj22j
XN20……
1XN12J
e
k0
N1
j
2N2N
ej2

NNj2j2
以上这串式中X0反应了xk的支流分量，X1是xk的一次谐波，又根据虚实特性XN1X1而其他分量均为零。

当周期减小时显然si

2kRNk的谱只应该在k3及kN3才有分量，实验者可N3
以通过可上述相同的步骤加以理论证明。由于cos
22kRNk及si
kRNk相位差，所以它的DFT只包括实部而NN2
没有虚部，以上这些性质可在本实验中得到验证。2．利用DFT对信号进行频谱分析DFT的重要应用之一是对时域连续信号的频谱进行分析，称为傅里叶分析，时域连续信号离散傅里叶分析的基本步骤如图51所示。
图51时域连续信号离散傅里叶分析的处理步骤
f其中消混叠低通滤波器LPF（预滤波器）的引入，是为了消除或减少时域连续信号转换成序列时可能出现的频谱混叠的影响。实际工作中，时域离散信号xk的时宽是很长的甚至是无限长的（例如语言或音乐r