d1，其中ASxd表示指派S对x指派元素d。
4、所有公理为永真式：、所有公理为永真式：我们从公理中取公理5来证明，即证明xA→B→xA→xB为永真式。已知：xA→B1求证：xA→xB1
任意取一个结构，和这个结构任意一个指派，对于任意一个赋值f，满足fxA→B1，则fxA→xB1任意取一个结构一个赋值映射f，f满足fxA→B1：证明：fxA→xB1
fxA→B1fxA1证明fxB1fABd1fAdBd1fAd0或者fBd1fAd1fBd1对于论域中的任意一个个体，dfAdBd1fAd1FBd1fASxdBSxd1Ad1AdBd对于论域中的任意一个个体，dfASxd＝1求证：对于论域中的任意一个个体，dfBSxd＝1
f证明：只要证明对任意结构U和指派S，对于任一赋值v：
vxA→B→xA→xB1成立。
由演绎定理可知，要证明xA→B→xA→xB，则只需证明：
xA→BxAxB。
因此，只需证明对于任意结构U和指派S，如果U和S满足：xA→B和xA成立；则在结构U和指派S下xB在S和U下成立。只需对任意元素d，进行验证：对于Sxd和任意赋值v由于：
vA→BSxd1vASxd1
（1）已知
（2）已知
由（1）可知，或者vASxd0或者vBSxd1。由（2）可知，vASxd1，因此vBSxd1。因此，命题成立。5、语义构造的例子一阶谓词形式系统的语义结构为：只有一个函词、一个谓词和一个常元的形式系统（推理和符号与一阶谓词相同）。P2f1a个体域：U123L，即自然数集合N谓词：P2为N上的≤关系。函词：f
1
为N上的后继，即f
1
xx1
常元：a1判断以下公式的真值：
Pafv1
v1v2Pfv1v2
Px11x12
v1v2Pv11v21
v2Pfv2v20
f46一阶元理论461语法构成
对于一阶谓词形式系统的语法构成，主要有以下定理：独立性：FSFC的公理集合是独立的。一致性：FSFC是一致的，即不存在FSFC的公式A，使├A及├A同时成立FSFC是不完全的，即存在FSFC的公式A，使├A及├A都不成立。只需证明对于原子公式Px├Px├Px均不成立。FSFC的不一致扩充为完全的。半可判定性：FSFC是半可判定的，即存在一个机械的实现过程，能对FSFC中的定理作出肯定判断，但对非定理的FSFC公式未必能作出否定判决。推广：设∑为FSFC的一r