2007－2008学年第1－
学期
线性代数B（A）卷参考答案及评分标准（）
适用：系专业07级学生
一
填空题（4×5＝20分）131313T1
14T5（4）A4E（5）44424242
（1）9（2）8（3）

122
二（10分）D2
222。223
三（12分）由AXA2X得A2EXA
386A2E≠0，故A2E可逆，因此XA2EA2962129
1
四（12分）
31064311117解：增广矩阵Ab312144→0134159800000
可得导出组的基础解系为
54140
3751ξ16310Tξ201T，特解η00，所以解的结构为4444
xk1ξ1k2ξ2η，其中k1k2为任意常数。211T五．（20分）解（1）二次型对应的矩阵为A＝121，并记Xx1x2x3112
所以二次型的矩阵表示式为fXTAX。2分
λ2
由λEA
11
1λ21
11＝λ4λ120，λ2
6分
从而得A的特征值为λ14λ2λ31。
f当λ14时，λEAX0得其基础解系为α1111T，解单位化得β1故A的属于λ14的特征向量为Xk111k是不为零的任意常数；
T
13
111T，
8分
T
当λ2λ31时，解λEAX0得其基础解系为α2110，α3101正交化单位化得β2
，
12
110T，β3
16
112T，
故A的属于λ2λ31的特征向量为Xk2α2k3α3k2k3是不同时为零的任意常数。12分（2）令P＝β1
β2
β3，则P为正交矩阵，做正交变换X＝PY，得二次型的标准形为
16分
22f4y1y2y3。2
六（12分）
11解（1）α1α2α3α42121012210→43102210210011000000
所以极大无关组为α1α4，且α22α1α3α1α4（2）向量组α1α2α3α4的秩为2。七（12分）
101证明：（1）α1α2α2α3α3α1α1α2α3110α1α2α3P011
因为P2≠0，故P可逆，又向量组α1α2α3线性无关，所以向量组α1α2α2α3α3α1线性无关。（2）依题意可得：AAE0，所以RARAE≤
又
RERAAE≥RARAE由12可知RAr