2＋m＝kx1x2＋mkx1＋x2＋m＝23＋4k
222222
2
2
b33由kOAkOB＝－2＝－得y1y2＝－x1x2，a44
3（m－4k）34（m－3）22即＝－，化简得2m－4k＝3，满足Δ0223＋4k43＋4k由弦长公式得AB＝1＋kx1－x2＝1＋k又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝1所以S△AOB＝dAB21＝21＝224（1＋k）m223＋4k1＋k24m2＝3＋4k
222222222
2
48（4k－m＋3）＝22（3＋4k）
2
2
24（1＋k）23＋4k
2
m1＋k
2
，
3×2m2＝3＋4k
2
3×（3＋4k）＝323＋4k
2
故△AOB的面积为定值3
xy12．已知椭圆2＋2＝1ab0的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝，点P为椭圆上ab2
的一个动点，△PF1F2面积的最大值为431求椭圆的方程；
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f→→→2若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，ACBD＝0，求AC＋→BD的取值范围．解：1由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，1此时S△PF1F2＝F1F2OP＝bc，所以bc＝43，21因为e＝，所以b＝23，a＝4，2所以椭圆的方程为＋＝116122由1得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为－2，0，1612→→因为ACBD＝0，所以AC⊥BD，→→①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得AC＋BD＝6＋8＝14，②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝kx＋2，设Ax1，y1，Cx2，y2，y＝k（x＋2），联立x2y2＋＝1，1612消去y，得3＋4kx＋16kx＋16k－48＝0，2－16kx1＋x2＝23＋4k所以，216k－48x1x2＝23＋4k
2222
x2
y2
x2
y2


24（k＋1）→2所以AC＝1＋kx1－x2＝，23＋4k1此时直线BD的方程为y＝－x＋2，
2
k
1y＝－（x＋2），k同理，由xy16＋12＝1，
22
→24（k＋1）可得BD＝，23k＋424（k＋1）24（k＋1）168（k＋1）→→所以AC＋BD＝＋＝，22224k＋33k＋4（3k＋4）（4k＋3）令t＝k＋1k≠0，则t1，168→→所以AC＋BD＝，t－112＋2
22222
2
t
因为t1，所以0
t－11≤，t24
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f→→96所以AC＋BD∈，147→→96由①②可知，AC＋BD的取值范围是，147
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