理得：k＋4x＝4，4故x2＝－x1＝2
22222
2
2
y2
y2
2
2
k2＋4因为A1，0，B0，2，故由两点式得直线AB的方程为：2x＋y－2＝0，设点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2，则h1＝
2x1＋kx1－22（2＋k＋k＋4）＝，255（k＋4）
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2
，①
fh2＝
2x2＋kx2－22（2＋k－k＋4）＝，255（k＋4）
2
2
AB＝2＋1＝5，所以四边形AEBF的面积为114（2＋k）2（2＋k）S＝ABh1＋h2＝×5×＝2225（k＋4）k2＋4＝2＝2
2
4＋k＋4k＝2k2＋41＋44
2
1＋
4kk＋4
2
≤22，
k＋k
当k＝4k0，即k＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积取最大值时，k＝26已知点P2，3，Q2，－3在椭圆＋＝1上，A、B是椭圆上位于1612直线PQ两侧的动点．11若直线AB的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值；22当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．1xy2解：1设Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB的方程为y＝x＋t，把其代入＋＝1，得x21612＋tx＋t－12＝0，22由Δ＝t－4t－120，2解得－4t4，由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t－1212四边形APBQ的面积S＝×6×x1－x2＝348－3t，2所以当t＝0时，Smax＝1232当∠APQ＝∠BPQ，则直线PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，y－3＝k（x－2），则PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝kx－2，由x2y2＋＝1，16128（2k－3）k222得3＋4kx＋83－2kkx＋43－2k－48＝0，则x1＋2＝，23＋4k同理直线PB的方程为y－3＝－kx－2，－8k（－2k－3）8k（2k＋3）可得x2＋2＝＝，223＋4k3＋4k16k－12－48k所以x1＋x2＝2，x1－x2＝2，3＋4k3＋4k
2222
x2
y2

y1－y2k（x1－2）＋3＋k（x2－2）－3k（x1＋x2）－4k1kAB＝＝＝＝，x1－x2x1－x2x1－x22
1所以直线AB的斜率为定值2
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fxy121．已知椭圆C：2＋2＝1ab0的离心率为，一个焦点与抛物线y＝4x的焦点重合，直ab2
线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．1求椭圆C的标准方程；2设O为坐标原点，kOAkOB＝－2，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
2
2
b2a
c1解：1由题意得c＝1，又e＝＝，a2
所以a＝2，从而b＝a－c＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1432设点Ax1，y1，Bx2，y2，
222
x2y2
xy＋＝1由43y＝kx＋m
得3＋4kx＋8mkx＋4m－3＝0，22222由Δ＝8mk－163＋4km－30得m3＋4k8mk4（m－3）因为x1＋x2＝－，2，x1x2＝23＋4k3＋4k3（m－4k）22所以y1y2＝kx1＋mkxr