第三章杆件横截面上的应力应变分析
利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。
第一节应力、应变及其相互关系
一、正应力、剪应力观察图31a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：
（31）
亦称为面积上的平均应力。一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。
32式中p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量图31b。称为正应力，称为切应力。在国际单位制中，应力的单位是牛顿米2（NM2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa106Pa。二、正应变、切应变
f杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx、Δy、Δz（图32）。把该六面体投影到xy平面（图32b）。变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化图32c。变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为ΔxΔs。相对变形
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表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为
34式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN和ML正交，变形后变为∠LMN，变形前后角度的变化是（π2∠LMN）。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。

π2∠LMN35
ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两r