是平面MAB的法向量，则即－2y＝2x＋0y＋z＝0，可取
＝1，0，2又是平面MCD的法向量，因此cos〈
，〉＝＝，si
〈
，〉＝所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为320xx全国Ⅰ卷如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF1证明：平面PEF⊥平面ABFD；2求DP与平面ABFD所成角的正弦值1证明由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，PF，EF平面PEF，所以BF⊥平面PEF又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD2解作PH⊥EF，垂足为H由1得，PH⊥平面ABFD以H为坐标原点，以的方向为y轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz
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f由1可得，DE⊥PE又DP＝2，DE＝1，所以PE＝又PF＝1，EF＝2，故EF2＝PE2＋PF2，所以PE⊥PF可得PH＝，EH＝则H0，0，0，P，D，D→P＝，＝为平面ABFD的一个法向量设DP与平面ABFD所成角为θ，则si
θ＝＝＝所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
考点整合1直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝a1，b1，c1，平面α，β的法向量分别为μ＝a2，b2，c2，v＝a3，b3，c3，则1线面平行l∥αa⊥μaμ＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝02线面垂直l⊥αa∥μa＝kμa1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc23面面平行α∥βμ∥vμ＝λva2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc34面面垂直α⊥βμ⊥vμv＝0a2a3＋b2b3＋c2c3＝02直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝a1，b1，c1，b＝a2，b2，c2，平面α，β的法向量分别为μ＝a3，b3，c3，v＝a4，b4，c4以下相同1线线夹角
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f设l，m的夹角为θ，则
cosθ＝＝＋b＋cra＋b＋c
2线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θ，则
si
θ＝＝
，μ
3面面夹角
设平面α，β的夹角为θ0≤θ＜π，
则cosθ＝＝
μ，
热点一利用空间向量证明平行、垂直关系
【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面
ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，
点E为棱PC的中点证明：
1BE⊥DC；
2BE∥平面PAD；
3平面PCD⊥平面PAD
证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得
B1，0，0，C2，2，0，D0，2，0，P0，0，2由E为棱PC
的中点，得E1，1，1
1向量＝0，1，1，＝2，0，0，故＝0
所以r