高中物理奥赛经典
五、极限法
方法简介
极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲
例1：如图51所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方
h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的
最大动能为
。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此
推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有
mgkx
①
由机械能守恒有：mg
h

x

Ek

12
kx2
②
联立①②式解得：Ek

mgh－
m2g22k
图51
例2：如图52所示，倾角为α的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光
滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直
方向的夹角β。
解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与β
角有关，求时间t对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为：
agcosβ该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则：
1at2OP2
图52
所以：t2OP
①
gcos
由图可知，在ΔOPC中有：
OP
OC
si
90osi
90o
极限法第1页（共14页）
f所以：OPOCcoscos
高中物理奥赛经典
②
将②式代入①式得：t
2OCcosgcoscos
4OCcos
coscos2g
显然，当cosα－2β1，即β时，上式有最小值。2
所以当β时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。2
此题也可以用作图法求解。
例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图53所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？
解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正
方向，竖直向下为y轴正方向，则由：vyv0ta
θgt
，解得运动时间为tv0g
ta
θ
该点的坐标为：
x

v0t

v20
g
ta
θ
，y1gt2
v20
ta
2θ
2
2g
由几何关系得：Hyxta
θcos
解得小球离开斜面的最大距离为：
图5
H

v20
ta
θsi
θ
2g
这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。
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